Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 5 x$ e $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.7

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.10

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.10.2

Multiplique $x^{2} + 5 x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.12

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 5 x$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot ((x^{2} + 5 x) x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.1

Expanda $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.1

Multiplique $2$ por $25$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.2

Multiplique $25$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.4.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.4.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.2

Combine os termos opostos em $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.3.3.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.2.2

Some $50 x + 125 - 5 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.3

Some $- 5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.1

Fatore $5$ de $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.1.1

Fatore $5$ de $5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.2

Fatore $5$ de $50 x$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.3

Fatore $5$ de $125$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.4

Fatore $5$ de $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.5

Fatore $5$ de $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 2.1.1.3.5.2.3

Reescreva o polinômio.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.6.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.6.2

Reordene $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.6.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.6.4

Aplique a regra do produto a $(5 + x) (5 - x)$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.7

Cancele o fator comum de ${(x + 5)}^{2}$ e ${(5 + x)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.3.7.1

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.2.1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(5 - x)}^{2}})$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ como ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({({(5 - x)}^{2})}^{- 1})$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(5 - x)}^{2 \cdot - 1})$

Etapa 2.1.2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(5 - x)}^{- 2})$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 5 - x$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - x$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (5 - x))$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = 5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (5 - x))$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - x$ .

$f'' (x) = 5 (- 2 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} (5 - x))$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$f'' (x) = - 10 ({(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} (5 - x))$

Etapa 2.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - 10 {(5 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.1.2.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 10 {(5 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.1.2.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - 10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 {(5 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 2.1.2.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = 10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 {(5 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3.8

Multiplique $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 {(5 - x)}^{- 3}$

Etapa 2.1.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{{(5 - x)}^{3}})$

Etapa 2.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Combine $10$ e $\frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{{(5 - x)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.5.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$10 = 0$

Etapa 2.2.3

Como $10 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$25 - x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 25$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 25$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Divida $- 25$ por $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 3.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 3.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 3.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 3.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 3.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 5, - 5}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 5, - 5}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 5)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f'' (- 8) = \frac{10}{{(- (- 8) + 5)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{{(8 + 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Some $8$ e $5$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{13^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $13$ à potência de $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{2197}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\frac{10}{2197}$ .

$\frac{10}{2197}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 5)$ porque $f'' (- 8)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 5, 5)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{10}{{(- (0) + 5)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{10}{{(0 + 5)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Some $0$ e $5$ .

$f'' (0) = \frac{10}{5^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{10}{125}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $10$ e $125$ .

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$f'' (0) = \frac{5 (2)}{125}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $5$ de $125$ .

$f'' (0) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 25}$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 25}$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{2}{25}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 5, 5)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 5, 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(5, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = \frac{10}{{(- (8) + 5)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f'' (8) = \frac{10}{{(- 8 + 5)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Some $- 8$ e $5$ .

$f'' (8) = \frac{10}{{(- 3)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (8) = \frac{10}{- 27}$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (8) = - \frac{10}{27}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(- 5, 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9