Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 4$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $x^{2} - 16$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - (x + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - (x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - (x + 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - (x + 4) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - 2 (x + 4) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 + (- 2 x - 2 \cdot 4) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 16 - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 8 x - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ e cuja soma é $b = - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 8 x - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.2

Reescreva $- 8$ como $- 4$ mais $- 4$

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (- 4 - 4) x - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4 x - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} - 4 x) - 4 x - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f' (x) = \frac{x (- x - 4) + 4 (- x - 4)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 4$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.6.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 4) (x + 4)}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.7.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.2

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x + 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.4

Reescreva $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x + 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.5

Eleve $x + 4$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 4) (x + 4))}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.6

Eleve $x + 4$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 4) (x + 4))}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 4)}^{1 + 1}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.8

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.8

Cancele o fator comum de ${(x + 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.8.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ como ${({(x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 4)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 4)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 4)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 4)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 4)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.4.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 4)}^{- 3} + 0$

Etapa 1.1.2.4.7.2

Some $2 {(x - 4)}^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 4)}^{- 3}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 4)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{{(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{{(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 16}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x + 4}{x^{2} - 16}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 4, - 4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 4, - 4}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{2}{{((- 6) - 4)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Subtraia $4$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{2}{{(- 10)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 10$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{2}{- 1000}$

Etapa 4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ e $- 1000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{2 (1)}{- 1000}$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 500}$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 500}$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{1}{- 500}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 6) = - \frac{1}{500}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{500}$ .

$- \frac{1}{500}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 64}$

Etapa 5.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ e $- 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 64}$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $- 64$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 32}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 32}$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{1}{- 32}$

Etapa 5.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{32}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 4, 4)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 4, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{2}{{((6) - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Subtraia $4$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{2}{2^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{2}{8}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (6) = \frac{2 (1)}{8}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (6) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{1}{4}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(- 4, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8