Cálculo Exemplos

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.3.10

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 1.1.1.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.1.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.1.4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4.4.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Etapa 1.1.1.4.6

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.4.6.1

Mova $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Etapa 1.1.1.4.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Etapa 1.1.1.4.6.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Etapa 1.1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Etapa 1.1.1.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Etapa 1.1.1.5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4

Combine os termos.

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Etapa 1.1.1.5.4.1

Subtraia $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.2

Combine $- 14$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.2.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{14}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 1.1.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.3.8

Multiplique $- 3$ por $- 14$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Etapa 1.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 1.1.2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Etapa 1.1.2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Etapa 1.1.2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 1.1.2.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.2.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 1.1.2.4.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 1.1.2.4.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 1.1.2.4.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.7.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 1.1.2.4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 1.1.2.4.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

Etapa 1.1.2.4.8

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Etapa 1.1.2.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

Etapa 1.1.2.5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 1.1.2.5.4

Combine os termos.

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Etapa 1.1.2.5.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Combine $42$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Etapa 1.1.2.5.4.3

Combine $12$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

Etapa 1.2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

Etapa 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

Etapa 1.2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.2.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.2.2.5

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.2.2.6

Os fatores para $x^{3}$ são $x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $3$ vezes.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $3$ vezes.

Etapa 1.2.2.7

Os fatores para $x^{4}$ são $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $4$ vezes.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $4$ vezes.

Etapa 1.2.2.8

Os fatores para $x^{5}$ são $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $5$ vezes.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $5$ vezes.

Etapa 1.2.2.9

O MMC de $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Etapa 1.2.2.10

Simplifique $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Etapa 1.2.2.10.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Etapa 1.2.2.10.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.10.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.10.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Etapa 1.2.2.10.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Etapa 1.2.2.10.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Etapa 1.2.2.10.3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.10.3.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.10.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Etapa 1.2.2.10.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Etapa 1.2.2.10.3.2

Some $3$ e $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Etapa 1.2.2.10.4

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.10.4.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.10.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Etapa 1.2.2.10.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4 + 1}$

Etapa 1.2.2.10.4.2

Some $4$ e $1$ .

$x^{5}$

Etapa 1.2.3

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ por $x^{5}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ por $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{5}$ .

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

Etapa 1.2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 42 x + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

Etapa 1.2.4.1.2

Fatore $2$ de $42 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

Etapa 1.2.4.1.3

Fatore $2$ de $12$ .

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Etapa 1.2.4.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (21 x)$ .

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Etapa 1.2.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ .

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Divida cada termo em $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Divida cada termo em $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.1.2

Divida $x^{2} + 21 x + 6$ por $1$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

Etapa 1.2.4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 21$ e $c = 6$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1.1

Eleve $21$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.5.1.3

Subtraia $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.1.1

Eleve $21$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.1.3

Subtraia $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.4

Reescreva $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

Etapa 1.2.4.6.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

Etapa 1.2.4.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.7.1.1

Eleve $21$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.7.1.3

Subtraia $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.7.4

Reescreva $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.7.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

Etapa 1.2.4.7.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

Etapa 1.2.4.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Etapa 1.2.4.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.2

Defina o denominador em $\frac{7}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 2.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.5.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.5.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 2.6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 23$ na expressão.

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 23$ à potência de $3$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 23$ à potência de $4$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 23$ à potência de $5$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $\frac{2}{- 12167}$ por $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $\frac{2}{- 12167}$ por $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $\frac{42}{279841}$ por $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

Etapa 4.2.1.7

Multiplique $\frac{42}{279841}$ por $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

Etapa 4.2.1.8

Multiplique $\frac{12}{- 6436343}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.1.9

Multiplique $\frac{12}{- 6436343}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.1.10

Multiplique $- 12167$ por $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.1.11

Reordene os fatores de $279841 \cdot 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.1.12

Multiplique $23$ por $279841$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.1.13

Multiplique $- 6436343$ por $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

Etapa 4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $42$ por $23$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Etapa 4.2.3.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

Etapa 4.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Some $- 1058$ e $966$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

Etapa 4.2.4.2

Subtraia $12$ de $- 92$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

Etapa 4.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $- \frac{104}{6436343}$ .

$- \frac{104}{6436343}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ porque $f'' (- 23)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $\frac{2}{- 27}$ por $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $\frac{2}{- 27}$ por $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $\frac{42}{81}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

Etapa 5.2.1.7

Multiplique $\frac{42}{81}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

Etapa 5.2.1.8

Multiplique $\frac{12}{- 243}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.2.1.9

Multiplique $\frac{12}{- 243}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.1.10

Multiplique $- 27$ por $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.1.11

Reordene os fatores de $81 \cdot 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.1.12

Multiplique $3$ por $81$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.1.13

Multiplique $- 243$ por $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

Etapa 5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $42$ por $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

Etapa 5.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Some $- 18$ e $126$ .

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $12$ de $108$ .

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $96$ e $243$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Fatore $3$ de $96$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

Etapa 5.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.2.1

Fatore $3$ de $243$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Etapa 5.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Etapa 5.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $\frac{32}{81}$ .

$\frac{32}{81}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ porque $f'' (- 3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.14$ na expressão.

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.14$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $2$ por $- 0.002744$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 0.14$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Etapa 6.2.1.4

Divida $42$ por $0.00038416$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $- 0.14$ à potência de $5$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

Etapa 6.2.1.6

Divida $12$ por $- 0.00005378$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 728.86297376$ e $109329.44606413$ .

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $223121.31849824$ de $108600.58309037$ .

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 114520.73540786$ .

$- 114520.73540786$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ porque $f'' (- 0.14)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $\frac{2}{8}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $\frac{2}{8}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $\frac{42}{16}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $\frac{42}{16}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.1.8

Reordene os fatores de $8 \cdot 4$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.1.9

Multiplique $4$ por $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.1.10

Reordene os fatores de $16 \cdot 2$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.1.11

Multiplique $2$ por $16$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

Etapa 7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Etapa 7.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $42$ por $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

Etapa 7.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Some $8$ e $84$ .

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

Etapa 7.2.4.2

Some $92$ e $12$ .

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

Etapa 7.2.4.3

Cancele o fator comum de $104$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.3.1

Fatore $8$ de $104$ .

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

Etapa 7.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.3.2.1

Fatore $8$ de $32$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Etapa 7.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Etapa 7.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9