Cálculo Exemplos

$f (x) = - e^{x} (x - 1)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x} (x - 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1))$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = - (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Etapa 1.1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Etapa 1.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = - (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = - (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = - (e^{x} + (x - 1) e^{x})$

Etapa 1.1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x})$

Etapa 1.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = - e^{x} - (x e^{x}) - (- 1 e^{x})$

Etapa 1.1.1.5.3

Combine os termos.

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Etapa 1.1.1.5.3.1

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + e^{x}$

Etapa 1.1.1.5.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}$

Etapa 1.1.1.5.3.3

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = - e^{x} - x e^{x} + e^{x}$

Etapa 1.1.1.5.3.4

Some $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 0$

Etapa 1.1.1.5.3.5

Some $- x e^{x}$ e $0$ .

$f' (x) = - x e^{x}$

Etapa 1.1.1.5.4

Reordene os fatores de $- x e^{x}$ .

$f' (x) = - e^{x} x$

Etapa 1.1.1.5.5

Reordene os fatores em $- e^{x} x$ .

$f' (x) = - x e^{x}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x}$

Etapa 1.1.2.5.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = - e^{x} x - e^{x}$

Etapa 1.1.2.5.3

Reordene os fatores em $- e^{x} x - e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} - e^{x}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x e^{x} - e^{x}$ .

$- x e^{x} - e^{x}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x e^{x} - e^{x} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- x e^{x} - e^{x} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- x e^{x} - e^{x}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $e^{x}$ de $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) - e^{x} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$e^{x} (- x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 1.2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 1.2.5

Defina $- x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $- x - 1$ como igual a $0$ .

$- x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $- x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- x = 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $- x = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (- x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 4 \cdot e^{- 4} - e^{- 4}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} - e^{- 4}$

Etapa 4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{4}{e^{4}} - e^{- 4}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e^{4}}$

Etapa 4.2.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 4) = \frac{4 - 1}{e^{4}}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{3}{e^{4}}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\frac{3}{e^{4}}$ .

$\frac{3}{e^{4}}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - e^{0}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{0}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

Etapa 5.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, \infty)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7