Cálculo Exemplos

$2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $2 x e^{- x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.8.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.1.10

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Etapa 2.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.1.11.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.1.11.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - 4 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.1.11.4

Reordene os fatores em $- 4 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2} e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.8.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2.9

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{- x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 2.2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 2.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 2.2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2}))$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

Etapa 2.2.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

Etapa 2.2.3.6

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 4 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) - 4 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 8 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) - 4 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.2.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} e^{- x^{2}} - 8 (e^{- x^{2}} (x)) - 4 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.2.4.2.3

Subtraia $4 e^{- x^{2}} x$ de $- 8 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 8 e^{- x^{2}} x^{3} - 12 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.2.4.4

Reordene os fatores em $8 e^{- x^{2}} x^{3} - 12 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}}$ .

$8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $4 x e^{- x^{2}}$ de $8 x^{3} e^{- x^{2}} - 12 x e^{- x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $4 x e^{- x^{2}}$ de $8 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 12 x e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $4 x e^{- x^{2}}$ de $- 12 x e^{- x^{2}}$ .

$4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 4 x e^{- x^{2}} (- 3) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $4 x e^{- x^{2}}$ de $4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 4 x e^{- x^{2}} (- 3)$ .

$4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $e^{- x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 3.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.5.2.3

Não há uma solução para $e^{- x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.6

Defina $2 x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $2 x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $2 x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 3$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.6.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.6.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.6.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.6.2.4.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.6.2.4.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.6.2.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.6.2.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.6.2.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.6.2.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.6.2.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.2.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.2.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.6.2.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.6.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.6.2.4.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.6.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.6.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.6.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 (0) \cdot e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 \cdot e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 \cdot e^{- 0}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 \cdot e^{0}$

Etapa 4.1.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.6

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $\frac{\sqrt{6}}{2}$ em $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{6}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6}{4}}$

Etapa 4.3.2.5

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 (3)}{4}}$

Etapa 4.3.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.3.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.3.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 4.3.2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \sqrt{6} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.3.2.7

Combine $\sqrt{6}$ e $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.3.2.8

A resposta final é $\frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt{6}}{2}$ em $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ é $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 4.5

Substitua $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ em $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{- \sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{- \sqrt{6}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2})}$

Etapa 4.5.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 4.5.2.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 4.5.2.3.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 4.5.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 4.5.2.3.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 4.5.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.5.2.5

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.5.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.5.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 4.5.2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 4.5.2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 4.5.2.5.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6}{2^{2}}}$

Etapa 4.5.2.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{6}{4}}$

Etapa 4.5.2.7

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.7.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 (3)}{4}}$

Etapa 4.5.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.5.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.5.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 4.5.2.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \sqrt{6} \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.5.2.9

Combine $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ e $\sqrt{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.5.2.10

A resposta final é $- \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ em $f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ é $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}), (- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.32474487$ na expressão.

$f'' (- 1.32474487) = 8 {(- 1.32474487)}^{3} e^{- {(- 1.32474487)}^{2}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.32474487$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.32474487) = 8 \cdot (- 2.32485965 e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}) - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $8$ por $- 2.32485965$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 18.59887722 e^{- {(- 1.32474487)}^{2}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 1.32474487$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 18.59887722 e^{- 1 \cdot 1.75494897} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1.75494897$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 18.59887722 e^{- 1.75494897} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 18.59887722 \frac{1}{e^{1.75494897}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.6

Combine $- 18.59887722$ e $\frac{1}{e^{1.75494897}}$ .

$f'' (- 1.32474487) = \frac{- 18.59887722}{e^{1.75494897}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 1.32474487) = - \frac{18.59887722}{e^{1.75494897}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.8

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 1.32474487) = - \frac{18.59887722}{{2.71828182}^{1.75494897}} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.9

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.75494897$ .

$f'' (- 1.32474487) = - \frac{18.59887722}{5.78315264} - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.10

Divida $18.59887722$ por $5.78315264$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 1 \cdot 3.21604466 - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $3.21604466$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 - 12 \cdot - 1.32474487 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.12

Multiplique $- 12$ por $- 1.32474487$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 15.89693845 \cdot e^{- {(- 1.32474487)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.13

Eleve $- 1.32474487$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 15.89693845 \cdot e^{- 1 \cdot 1.75494897}$

Etapa 6.2.1.14

Multiplique $- 1$ por $1.75494897$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 15.89693845 \cdot e^{- 1.75494897}$

Etapa 6.2.1.15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 15.89693845 \cdot \frac{1}{e^{1.75494897}}$

Etapa 6.2.1.16

Combine $15.89693845$ e $\frac{1}{e^{1.75494897}}$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + \frac{15.89693845}{e^{1.75494897}}$

Etapa 6.2.1.17

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + \frac{15.89693845}{{2.71828182}^{1.75494897}}$

Etapa 6.2.1.18

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.75494897$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + \frac{15.89693845}{5.78315264}$

Etapa 6.2.1.19

Divida $15.89693845$ por $5.78315264$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 3.21604466 + 2.74883604$

Etapa 6.2.2

Some $- 3.21604466$ e $2.74883604$ .

$f'' (- 1.32474487) = - 0.46720862$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.46720862$ .

$- 0.46720862$

Etapa 6.3

Em $- 1.32474487$ , a segunda derivada é $- 0.46720862$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.61237243$ na expressão.

$f'' (- 0.61237243) = 8 {(- 0.61237243)}^{3} e^{- {(- 0.61237243)}^{2}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.61237243$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.61237243) = 8 \cdot (- 0.22963966 e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}) - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $8$ por $- 0.22963966$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.8371173 e^{- {(- 0.61237243)}^{2}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 0.61237243$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.8371173 e^{- 1 \cdot 0.375} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0.375$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.8371173 e^{- 0.375} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.8371173 \frac{1}{e^{0.375}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Combine $- 1.8371173$ e $\frac{1}{e^{0.375}}$ .

$f'' (- 0.61237243) = \frac{- 1.8371173}{e^{0.375}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 0.61237243) = - \frac{1.8371173}{e^{0.375}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.8

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 0.61237243) = - \frac{1.8371173}{{2.71828182}^{0.375}} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.9

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.375$ .

$f'' (- 0.61237243) = - \frac{1.8371173}{1.45499141} - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.10

Divida $1.8371173$ por $1.45499141$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1 \cdot 1.26263102 - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $1.26263102$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 - 12 \cdot - 0.61237243 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.12

Multiplique $- 12$ por $- 0.61237243$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 7.34846922 \cdot e^{- {(- 0.61237243)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.13

Eleve $- 0.61237243$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 7.34846922 \cdot e^{- 1 \cdot 0.375}$

Etapa 7.2.1.14

Multiplique $- 1$ por $0.375$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 7.34846922 \cdot e^{- 0.375}$

Etapa 7.2.1.15

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 7.34846922 \cdot \frac{1}{e^{0.375}}$

Etapa 7.2.1.16

Combine $7.34846922$ e $\frac{1}{e^{0.375}}$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + \frac{7.34846922}{e^{0.375}}$

Etapa 7.2.1.17

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + \frac{7.34846922}{{2.71828182}^{0.375}}$

Etapa 7.2.1.18

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.375$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + \frac{7.34846922}{1.45499141}$

Etapa 7.2.1.19

Divida $7.34846922$ por $1.45499141$ .

$f'' (- 0.61237243) = - 1.26263102 + 5.05052411$

Etapa 7.2.2

Some $- 1.26263102$ e $5.05052411$ .

$f'' (- 0.61237243) = 3.78789308$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $3.78789308$ .

$3.78789308$

Etapa 7.3

Em $- 0.61237243$ , a segunda derivada é $3.78789308$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ .

Acréscimo em $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.61237243$ na expressão.

$f'' (0.61237243) = 8 {(0.61237243)}^{3} e^{- {(0.61237243)}^{2}} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.61237243$ à potência de $3$ .

$f'' (0.61237243) = 8 \cdot (0.22963966 e^{- {(0.61237243)}^{2}}) - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $8$ por $0.22963966$ .

$f'' (0.61237243) = 1.8371173 e^{- {(0.61237243)}^{2}} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $0.61237243$ à potência de $2$ .

$f'' (0.61237243) = 1.8371173 e^{- 1 \cdot 0.375} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0.375$ .

$f'' (0.61237243) = 1.8371173 e^{- 0.375} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.61237243) = 1.8371173 (\frac{1}{e^{0.375}}) - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.6

Combine $1.8371173$ e $\frac{1}{e^{0.375}}$ .

$f'' (0.61237243) = \frac{1.8371173}{e^{0.375}} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (0.61237243) = \frac{1.8371173}{{2.71828182}^{0.375}} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.375$ .

$f'' (0.61237243) = \frac{1.8371173}{1.45499141} - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.9

Divida $1.8371173$ por $1.45499141$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 12 \cdot 0.61237243 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.10

Multiplique $- 12$ por $0.61237243$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 7.34846922 \cdot e^{- {(0.61237243)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.11

Eleve $0.61237243$ à potência de $2$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 7.34846922 \cdot e^{- 1 \cdot 0.375}$

Etapa 8.2.1.12

Multiplique $- 1$ por $0.375$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 7.34846922 \cdot e^{- 0.375}$

Etapa 8.2.1.13

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 7.34846922 \cdot \frac{1}{e^{0.375}}$

Etapa 8.2.1.14

Combine $- 7.34846922$ e $\frac{1}{e^{0.375}}$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 + \frac{- 7.34846922}{e^{0.375}}$

Etapa 8.2.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - \frac{7.34846922}{e^{0.375}}$

Etapa 8.2.1.16

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - \frac{7.34846922}{{2.71828182}^{0.375}}$

Etapa 8.2.1.17

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.375$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - \frac{7.34846922}{1.45499141}$

Etapa 8.2.1.18

Divida $7.34846922$ por $1.45499141$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 1 \cdot 5.05052411$

Etapa 8.2.1.19

Multiplique $- 1$ por $5.05052411$ .

$f'' (0.61237243) = 1.26263102 - 5.05052411$

Etapa 8.2.2

Subtraia $5.05052411$ de $1.26263102$ .

$f'' (0.61237243) = - 3.78789308$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 3.78789308$ .

$- 3.78789308$

Etapa 8.3

Em $0.61237243$ , a segunda derivada é $- 3.78789308$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{\sqrt{6}}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.32474487$ na expressão.

$f'' (1.32474487) = 8 {(1.32474487)}^{3} e^{- {(1.32474487)}^{2}} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $1.32474487$ à potência de $3$ .

$f'' (1.32474487) = 8 \cdot (2.32485965 e^{- {(1.32474487)}^{2}}) - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $8$ por $2.32485965$ .

$f'' (1.32474487) = 18.59887722 e^{- {(1.32474487)}^{2}} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.3

Eleve $1.32474487$ à potência de $2$ .

$f'' (1.32474487) = 18.59887722 e^{- 1 \cdot 1.75494897} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1.75494897$ .

$f'' (1.32474487) = 18.59887722 e^{- 1.75494897} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.32474487) = 18.59887722 (\frac{1}{e^{1.75494897}}) - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.6

Combine $18.59887722$ e $\frac{1}{e^{1.75494897}}$ .

$f'' (1.32474487) = \frac{18.59887722}{e^{1.75494897}} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (1.32474487) = \frac{18.59887722}{{2.71828182}^{1.75494897}} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.75494897$ .

$f'' (1.32474487) = \frac{18.59887722}{5.78315264} - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.9

Divida $18.59887722$ por $5.78315264$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 12 \cdot 1.32474487 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.10

Multiplique $- 12$ por $1.32474487$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 15.89693845 \cdot e^{- {(1.32474487)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.11

Eleve $1.32474487$ à potência de $2$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 15.89693845 \cdot e^{- 1 \cdot 1.75494897}$

Etapa 9.2.1.12

Multiplique $- 1$ por $1.75494897$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 15.89693845 \cdot e^{- 1.75494897}$

Etapa 9.2.1.13

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 15.89693845 \cdot \frac{1}{e^{1.75494897}}$

Etapa 9.2.1.14

Combine $- 15.89693845$ e $\frac{1}{e^{1.75494897}}$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 + \frac{- 15.89693845}{e^{1.75494897}}$

Etapa 9.2.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - \frac{15.89693845}{e^{1.75494897}}$

Etapa 9.2.1.16

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - \frac{15.89693845}{{2.71828182}^{1.75494897}}$

Etapa 9.2.1.17

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.75494897$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - \frac{15.89693845}{5.78315264}$

Etapa 9.2.1.18

Divida $15.89693845$ por $5.78315264$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 1 \cdot 2.74883604$

Etapa 9.2.1.19

Multiplique $- 1$ por $2.74883604$ .

$f'' (1.32474487) = 3.21604466 - 2.74883604$

Etapa 9.2.2

Subtraia $2.74883604$ de $3.21604466$ .

$f'' (1.32474487) = 0.46720862$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $0.46720862$ .

$0.46720862$

Etapa 9.3

Em $1.32474487$ , a segunda derivada é $0.46720862$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}), (0, 0), (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}}), (0, 0), (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{e^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 11