Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.3.3

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.3.4

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.3.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2 + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2 + 0$

Etapa 2.1.5.2

Some $x^{2} + x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 1 + 0$

Etapa 2.2.5

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 1$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 1$ .

$2 x + 1$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- \frac{1}{2}$ em $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- \frac{1}{2^{3}}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- \frac{1}{8}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.4.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1 (\frac{1}{4})}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.4.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{\frac{1}{4}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.6.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{4 \cdot 2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} - 2 (\frac{- 1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.7.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2}) + 7$

Etapa 4.1.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2})) + 7$

Etapa 4.1.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} - 1 \cdot - 1 + 7$

Etapa 4.1.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} + 1 + 7$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + 1 + 7$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + 1 + 7$

Etapa 4.1.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 7$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{24}{24} + 7$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{24}{24} + 7$

Etapa 4.1.2.2.6

Escreva $7$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{24}{24} + \frac{7}{1}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{7}{1}$ por $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{24}{24} + \frac{7}{1} \cdot \frac{24}{24}$

Etapa 4.1.2.2.8

Multiplique $\frac{7}{1}$ por $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{24}{24} + \frac{7 \cdot 24}{24}$

Etapa 4.1.2.2.9

Reordene os fatores de $8 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{3 \cdot 8} + \frac{24}{24} + \frac{7 \cdot 24}{24}$

Etapa 4.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{24} + \frac{24}{24} + \frac{7 \cdot 24}{24}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 3 + 24 + 7 \cdot 24}{24}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $7$ por $24$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 3 + 24 + 168}{24}$

Etapa 4.1.2.4.2

Some $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{2 + 24 + 168}{24}$

Etapa 4.1.2.4.3

Some $2$ e $24$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{26 + 168}{24}$

Etapa 4.1.2.4.4

Some $26$ e $168$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{194}{24}$

Etapa 4.1.2.5

Cancele o fator comum de $194$ e $24$ .

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Etapa 4.1.2.5.1

Fatore $2$ de $194$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{2 (97)}{24}$

Etapa 4.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $24$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 97}{2 \cdot 12}$

Etapa 4.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 97}{2 \cdot 12}$

Etapa 4.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{97}{12}$

Etapa 4.1.2.6

A resposta final é $\frac{97}{12}$ .

$\frac{97}{12}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{1}{2}$ em $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$ é $(- \frac{1}{2}, \frac{97}{12})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{1}{2}, \frac{97}{12})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.6$ na expressão.

$f'' (- 0.6) = 2 (- 0.6) + 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = - 1.2 + 1$

Etapa 6.2.2

Some $- 1.2$ e $1$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.2$ .

$- 0.2$

Etapa 6.3

Em $- 0.6$ , a segunda derivada é $- 0.2$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.4$ na expressão.

$f'' (- 0.4) = 2 (- 0.4) + 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = - 0.8 + 1$

Etapa 7.2.2

Some $- 0.8$ e $1$ .

$f'' (- 0.4) = 0.2$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.2$ .

$0.2$

Etapa 7.3

Em $- 0.4$ , a segunda derivada é $0.2$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- \frac{1}{2}, \frac{97}{12})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{97}{12})$

Etapa 9