Cálculo Exemplos

$y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

Etapa 1

Escreva $y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ como uma função.

$f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{3} (x)$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 2.1.2.1.2

A derivada de $\log_{3} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$1 + \frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 2.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 2.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.1.2.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + 0)$

Etapa 2.1.2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x)$

Etapa 2.1.2.6

Combine $2$ e $\frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ .

$1 + \frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)} x$

Etapa 2.1.2.7

Combine $\frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ e $x$ .

$1 + \frac{2 x}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Etapa 2.1.3.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.3.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)} + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Etapa 2.1.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3) + 2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Etapa 2.1.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ e $g (x) = x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)] - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.2

Como $\ln (3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} \ln (3)$ em relação a $x$ é $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.8

Como $5 \ln (3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \ln (3)$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + 0) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.9

Some $2 \ln (3) x + 2$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.11

Como $\ln (3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} \ln (3)$ em relação a $x$ é $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.13

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.14

Como $5 \ln (3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \ln (3)$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 0)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.2.15.1

Some $2 \ln (3) x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.2.15.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) + (- 2 (x^{2} \ln (3)) - 2 (2 x) - 2 (5 \ln (3))) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.3.1.1.1

Simplifique $5 \ln (3)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (3^{5})) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.3.1.2.1

Simplifique $2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (3^{2}) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.3

Expanda $(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.3.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x + 2) + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.3.1.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.3.1.4.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.3.1.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4.2

Simplifique $2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3^{2}) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4.4

Multiplique $\ln (243) \cdot 2$ .

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Etapa 2.2.3.3.1.4.4.1

Reordene $\ln (243)$ e $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + 2 \cdot \ln (243) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4.4.2

Simplifique $2 \cdot \ln (243)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (243^{2}) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.4.5

Eleve $243$ à potência de $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x \cdot x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1} x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1 + 2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{3} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.6

Simplifique $- 2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (3^{2})) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.3.1.8.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 (x \cdot x)) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x^{2}) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.9

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 4 x^{2} \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.10

Simplifique $- 4 \ln (3)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (3^{4})) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.11

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.12

Simplifique $5 \ln (3)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (3^{5}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.13

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (243) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.14

Simplifique $- 2 \ln (243)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (243^{2}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.15

Eleve $243$ à potência de $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.2

Combine os termos opostos em $x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ .

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Etapa 2.2.3.3.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ e $x^{3} (- \ln (9)) \ln (3)$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.2.2

Subtraia $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ de $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + 0 + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.2.3

Some $x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049)$ e $0$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.3

Reordene os fatores em $x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) + \ln (59049) - x^{2} \ln (81) - x \ln (59049) \ln (3)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.2.3.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Mova $x \ln (243) \ln (9)$ .

$x^{2} \ln (9) - x^{2} \ln (81) + x \ln (243) \ln (9) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

Etapa 3.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3.3

Substitua os valores $a = \ln (9) - \ln (81)$ , $b = \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)$ e $c = \ln (59049)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot ((\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049))}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $- (- \ln (3) \ln (59049))$ .

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Etapa 3.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.2.2

Multiplique $\ln (3)$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.3

Reescreva ${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ como $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.4

Expanda $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.5.1.1

Multiplique $\ln (243)$ por $\ln (243)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.5.1.1.1

Mova $\ln (243)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.1.2

Multiplique $\ln (243)$ por $\ln (243)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.2

Multiplique $\ln (9)$ por $\ln (9)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.5.1.2.1

Mova $\ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) (\ln (9) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.2.2

Multiplique $\ln (9)$ por $\ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.4

Multiplique $\ln (3)$ por $\ln (3)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.5.1.4.1

Mova $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.4.2

Multiplique $\ln (3)$ por $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.5

Multiplique $\ln (59049)$ por $\ln (59049)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.5.1.5.1

Mova $\ln (59049)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) (\ln (59049) \ln (59049)) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.5.2

Multiplique $\ln (59049)$ por $\ln (59049)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.6

Multiplique $- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ .

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Etapa 3.3.4.5.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + 1 \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.1.6.2

Multiplique $\ln^{2} (3)$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.2

Mova $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) - 1 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.5.3

Subtraia $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ de $- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) - 4 (- \ln (81))) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.7

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) + 4 \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.4.8

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.5.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (243) \ln (9)$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.5.3

Fatore $- 1$ de $\ln (3) \ln (59049)$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.5.4

Fatore $- 1$ de $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.5.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.5.6

Fatore $- 1$ de $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.5.7

Reescreva $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ como $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.1.2

Multiplique $- (- \ln (3) \ln (59049))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.1.2.2

Multiplique $\ln (3)$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.1.3

Reescreva ${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ como $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ .

Etapa 3.3.6.1.4

Expanda $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 3.3.6.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 3.3.6.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 3.3.6.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1.1

Multiplique $\ln (243)$ por $\ln (243)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1.1.1

Mova $\ln (243)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.1.2

Multiplique $\ln (243)$ por $\ln (243)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.2

Multiplique $\ln (9)$ por $\ln (9)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1.2.1

Mova $\ln (9)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.2.2

Multiplique $\ln (9)$ por $\ln (9)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

Etapa 3.3.6.1.5.1.4

Multiplique $\ln (3)$ por $\ln (3)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1.4.1

Mova $\ln (3)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.4.2

Multiplique $\ln (3)$ por $\ln (3)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.5

Multiplique $\ln (59049)$ por $\ln (59049)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1.5.1

Mova $\ln (59049)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.5.2

Multiplique $\ln (59049)$ por $\ln (59049)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.6

Multiplique $- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

Etapa 3.3.6.1.5.1.6.2

Multiplique $\ln^{2} (3)$ por $1$ .

Etapa 3.3.6.1.5.2

Mova $\ln (3)$ .

Etapa 3.3.6.1.5.3

Subtraia $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ de $- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ .

Etapa 3.3.6.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 3.3.6.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

Etapa 3.3.6.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 3.3.6.2

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- \ln (243) \ln (9)$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.4

Fatore $- 1$ de $\ln (3) \ln (59049)$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.5

Fatore $- 1$ de $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ .

Etapa 3.3.6.7

Fatore $- 1$ de $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.8

Reescreva $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ como $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.6.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 3.3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}, - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2.23606797$ em $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.23606797$ na expressão.

$f (- 2.23606797) = (- 2.23606797) + \log_{3} ({(- 2.23606797)}^{2} + 5)$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 2.23606797$ à potência de $2$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $5$ e $5$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (10)$

Etapa 4.1.2.1.3

A base do logaritmo $3$ de $10$ é de aproximadamente $2.09590327$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + 2.09590327$

Etapa 4.1.2.2

Some $- 2.23606797$ e $2.09590327$ .

$f (- 2.23606797) = - 0.1401647$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 0.1401647$ .

$- 0.1401647$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $- 2.23606797$ em $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ é $(- 2.23606797, - 0.1401647)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2.23606797, - 0.1401647)$

Etapa 4.3

Substitua $2.23606797$ em $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $2.23606797$ na expressão.

$f (2.23606797) = (2.23606797) + \log_{3} ({(2.23606797)}^{2} + 5)$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $2.23606797$ à potência de $2$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

Etapa 4.3.2.1.2

Some $5$ e $5$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (10)$

Etapa 4.3.2.1.3

A base do logaritmo $3$ de $10$ é de aproximadamente $2.09590327$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + 2.09590327$

Etapa 4.3.2.2

Some $2.23606797$ e $2.09590327$ .

$f (2.23606797) = 4.33197125$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $4.33197125$ .

$4.33197125$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $2.23606797$ em $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ é $(2.23606797, 4.33197125)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2.23606797, 4.33197125)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2.23606797) \cup (- 2.23606797, 2.23606797) \cup (2.23606797, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2.23606797)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.33606797$ na expressão.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{{(- 2.33606797)}^{2} \ln (9) + (- 2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2.33606797$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique $5.45721359 \ln (9)$ movendo $5.45721359$ para dentro do logaritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $9$ à potência de $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique $- 2.33606797 \ln (243)$ movendo $2.33606797$ para dentro do logaritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $243$ à potência de $2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.6

Eleve $- 2.33606797$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $- 5.45721359$ por $\ln (81)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.9

Simplifique $2.33606797 \ln (3)$ movendo $2.33606797$ para dentro do logaritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.10

Eleve $3$ à potência de $2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.11

Subtraia $23.98144767$ de $\ln (161252.03194789)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- \ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.12

Subtraia $11.99072383$ de $- \ln (374057.54800345) \ln (9)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 40.18587201 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.13

Some $- 40.18587201$ e $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.1.14

Some $- 11.99072383$ e $\ln (59049)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 2.33606797$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique $5.45721359 \ln (3)$ movendo $5.45721359$ para dentro do logaritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Simplifique $5 \ln (3)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Etapa 6.2.2.5

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

Etapa 6.2.2.6

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

Etapa 6.2.2.7

Multiplique $401.56199016$ por $243$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Etapa 6.2.4

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

Etapa 6.2.5

A base do logaritmo $2.71828182$ de $97579.56361088$ é de aproximadamente $11.48842336$ .

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

Etapa 6.2.6

Eleve $11.48842336$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

Etapa 6.2.7

Divida $1.00460094$ por $131.98387132$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

Etapa 6.2.8

Multiplique $- 1$ por $0.00761154$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 0.00761154$

Etapa 6.2.9

A resposta final é $- 0.00761154$ .

$- 0.00761154$

Etapa 6.3

Em $- 2.33606797$ , a segunda derivada é $- 0.00761154$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 2.23606797)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 2.23606797)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2.23606797, 2.23606797)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} \ln (9) + (0) \ln (243) \ln (9) - {(0)}^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(0)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 \ln (9) + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $0$ por $\ln (9)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $0$ por $\ln (243)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $0$ por $\ln (9)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $0$ por $\ln (81)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.8

Multiplique $0$ por $\ln (3)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.9

Multiplique $0$ por $\ln (59049)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.10

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.11

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.12

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.1.13

Some $0$ e $\ln (59049)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $0$ por $\ln (3)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique $5 \ln (3)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (243))}^{2}}$

Etapa 7.2.2.5

Some $0$ e $\ln (243)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$ .

$\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $0.36409569$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 2.23606797, 2.23606797)$ .

Acréscimo em $(- 2.23606797, 2.23606797)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(2.23606797, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2.33606797$ na expressão.

$f'' (2.33606797) = \frac{{(2.33606797)}^{2} \ln (9) + (2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(2.33606797)}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2.33606797$ à potência de $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Simplifique $5.45721359 \ln (9)$ movendo $5.45721359$ para dentro do logaritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $9$ à potência de $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4

Simplifique $2.33606797 \ln (243)$ movendo $2.33606797$ para dentro do logaritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.5

Eleve $243$ à potência de $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.6

Eleve $2.33606797$ à potência de $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.8

Multiplique $- 5.45721359$ por $\ln (81)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.9

Simplifique $- 2.33606797 \ln (3)$ movendo $2.33606797$ para dentro do logaritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.10

Eleve $3$ à potência de $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.11

Subtraia $23.98144767$ de $\ln (161252.03194789)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.12

Subtraia $11.99072383$ de $\ln (374057.54800345) \ln (9)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{16.20442434 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.13

Subtraia $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ de $16.20442434$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.1.14

Some $- 11.99072383$ e $\ln (59049)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $2.33606797$ à potência de $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique $5.45721359 \ln (3)$ movendo $5.45721359$ para dentro do logaritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Simplifique $5 \ln (3)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Etapa 8.2.2.5

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

Etapa 8.2.2.6

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

Etapa 8.2.2.7

Multiplique $401.56199016$ por $243$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Etapa 8.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Etapa 8.2.4

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

Etapa 8.2.5

A base do logaritmo $2.71828182$ de $97579.56361088$ é de aproximadamente $11.48842336$ .

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

Etapa 8.2.6

Eleve $11.48842336$ à potência de $2$ .

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

Etapa 8.2.7

Divida $1.00460094$ por $131.98387132$ .

$f'' (2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

Etapa 8.2.8

Multiplique $- 1$ por $0.00761154$ .

$f'' (2.33606797) = - 0.00761154$

Etapa 8.2.9

A resposta final é $- 0.00761154$ .

$- 0.00761154$

Etapa 8.3

Em $2.33606797$ , a segunda derivada é $- 0.00761154$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(2.23606797, \infty)$ .

Decréscimo em $(2.23606797, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$ .

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

Etapa 10