Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.4.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 1.1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 1.1.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 1.1.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 1.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 1.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 1.1.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 1.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 1.1.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.1.11

Combine $e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.1.12

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.1.13

Simplifique.

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Etapa 1.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.13.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.2.2

Combine $3$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 (e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.13

Combine $e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.16

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.2.17

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.9

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.15

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.16

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $e^{- x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.17

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.18

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.3.18.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.18.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.18.2.1

Cancele o fator comum.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.18.2.2

Reescreva a expressão.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Etapa 1.2.3.19

Simplifique.

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 1.2.3.20

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$- 3 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.2.4.3.1

Combine $- 3$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{3 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 3 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 3 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3.6

Combine $- 3$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3.8

Para escrever $- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 1.2.4.3.9

Para escrever $\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.4.3.10.1

Multiplique $\frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.6

Some $2$ e $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.7

Multiplique $\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.8

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.4.3.10.8.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Etapa 1.2.4.3.10.8.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 1.2.4.3.10.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Etapa 1.2.4.3.10.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 1.2.4.3.10.8.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.10.8.5

Some $1$ e $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.4

Reordene os termos.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.5.1.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- 3 e^{- x} x + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.4.5.1.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 1.2.4.5.1.1.1.1

Mova $e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x e^{- x} + (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.1.1.2

Reordene $- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.1.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- 3 x e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.1.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.2

Subtraia $3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ de $- 3 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.3

Fatore $3 e^{- x}$ de $- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1.3.1

Fatore $3 e^{- x}$ de $- 6 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.3.2

Fatore $3 e^{- x}$ de $- \frac{3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 3 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.3.3

Fatore $3 e^{- x}$ de $3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 3 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 1.2.4.5.1.4.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.4.2

Fatore $- 1$ de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.4.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 e^{- x} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.5

Combine expoentes.

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Etapa 1.2.4.5.1.5.1

Fatore o negativo.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 3 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.6

Para escrever $2 x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.7

Combine $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1.9.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.9.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1.9.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.9.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.9.2.4

Some $1$ e $1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.9.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.9.3

Simplifique $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.9.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.10

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1.10.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.10.2

Combine $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $- 3$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.10.3

Combine $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{- x}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.11

Reduza a expressão $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1.11.1

Cancele o fator comum.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.11.2

Reescreva a expressão.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot - 3 e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.12

Mova $- 3$ para a esquerda de $4 x + 1$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.5.3

Multiplique $- \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.3.1

Multiplique $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.5.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.6

Para escrever $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.7

Combine $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.9.1

Fatore $3 e^{- x}$ de $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 3 (4 x + 1) e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.9.1.1

Fatore $3 e^{- x}$ de $3 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 3 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.1.2

Fatore $3 e^{- x}$ de $- 3 (4 x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 3 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.1.3

Fatore $3 e^{- x}$ de $3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 3 e^{- x} (- (4 x + 1))$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.9.2.1

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.2.4

Some $3$ e $1$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.2.5

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{3 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.9.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2.4.9.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.3.3

Defina $4 x^{2} - 4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $4 x^{2} - 4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3.3.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.3

Some $16$ e $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.3.3.2.3.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.3.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.3

Some $16$ e $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.3.3.2.4.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.3.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.3.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.3

Some $16$ e $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.3.3.2.5.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.3.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.3.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{3 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ verdadeira.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1.20710678$ em $f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1.20710678$ na expressão.

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $1.20710678$ .

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} e^{- 1.20710678}$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1.20710678) = 3 \sqrt{1.20710678} (\frac{1}{e^{1.20710678}})$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $3 \sqrt{1.20710678} \frac{1}{e^{1.20710678}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Combine $\frac{1}{e^{1.20710678}}$ e $3$ .

$f (1.20710678) = \frac{3}{e^{1.20710678}} \cdot \sqrt{1.20710678}$

Etapa 3.1.2.4.2

Combine $\frac{3}{e^{1.20710678}}$ e $\sqrt{1.20710678}$ .

$f (1.20710678) = \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Etapa 3.1.2.5

A resposta final é $\frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$ .

$\frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $1.20710678$ em $f (x) = 3 \sqrt{x} e^{- x}$ é $(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 1.20710678) \cup (1.20710678, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1.20710678)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1.10710678$ na expressão.

$f'' (1.10710678) = \frac{3 e^{- (1.10710678)} (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Mova $e^{- (1.10710678)}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $1.10710678$ à potência de $2$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4 \cdot 1.22568542 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $4$ por $1.22568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4.90274169 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $- 4$ por $1.10710678$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (4.90274169 - 4.42842712 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.2.4

Subtraia $4.42842712$ de $4.90274169$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 (0.47431457 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.2.5

Subtraia $1$ de $0.47431457$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reescreva $1.10710678$ como ${1.05219141}^{2}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({({1.05219141}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{3} e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.3.4

Eleve $1.05219141$ à potência de $3$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot (1.16488825 e^{1.10710678})}$

Etapa 5.2.3.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.5.1

Multiplique $4$ por $1.16488825$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{4.65955301 e^{1.10710678}}$

Etapa 5.2.3.5.2

Multiplique $4.65955301$ por $e^{1.10710678}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{3 \cdot - 0.52568542}{14.09790642}$

Etapa 5.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $3$ por $- 0.52568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{- 1.57705627}{14.09790642}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $- 1.57705627$ por $14.09790642$ .

$f'' (1.10710678) = - 0.11186457$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $- 0.11186457$ .

$- 0.11186457$

Etapa 5.3

Em $1.10710678$ , a segunda derivada é $- 0.11186457$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 1.20710678)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1.20710678)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(1.20710678, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.30710678$ na expressão.

$f'' (1.30710678) = \frac{3 e^{- (1.30710678)} (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Mova $e^{- (1.30710678)}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $1.30710678$ à potência de $2$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (4 \cdot 1.70852813 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $4$ por $1.70852813$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (6.83411254 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $- 4$ por $1.30710678$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (6.83411254 - 5.22842712 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.2.4

Subtraia $5.22842712$ de $6.83411254$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 (1.60568542 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.2.5

Subtraia $1$ de $1.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.3.1

Reescreva $1.30710678$ como ${1.1432877}^{2}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({({1.1432877}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{3} e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.3.4

Eleve $1.1432877$ à potência de $3$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{4 \cdot (1.49439911 e^{1.30710678})}$

Etapa 6.2.3.5

Combine expoentes.

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Etapa 6.2.3.5.1

Multiplique $4$ por $1.49439911$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{5.97759645 e^{1.30710678}}$

Etapa 6.2.3.5.2

Multiplique $5.97759645$ por $e^{1.30710678}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3 \cdot 0.60568542}{22.09000709}$

Etapa 6.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $3$ por $0.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{1.81705627}{22.09000709}$

Etapa 6.2.4.2

Divida $1.81705627$ por $22.09000709$ .

$f'' (1.30710678) = 0.08225693$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $0.08225693$ .

$0.08225693$

Etapa 6.3

Em $1.30710678$ , a segunda derivada é $0.08225693$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1.20710678, \infty)$ .

Acréscimo em $(1.20710678, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ .

$(1.20710678, \frac{3 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Etapa 8