Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [5 e^{x} + 5 e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [5 e^{x} + 5 e^{- x}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 e^{x} + 5 e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Etapa 1.1.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2} (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}])$

Etapa 1.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{- x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} + 5 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x} \cdot 1)$

Etapa 1.5.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (5 e^{x} - 5 e^{- x})$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (5 e^{x}) + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Etapa 1.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Etapa 1.6.2.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $e^{x}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- 5 e^{- x})$

Etapa 1.6.2.3

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5}{2} e^{- x}$

Etapa 1.6.2.4

Combine $\frac{- 5}{2}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5 e^{- x}}{2}$

Etapa 1.6.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- x}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 e^{x}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 e^{x}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- x}}{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- x}}{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- \frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 e^{- x}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 2.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} - \frac{5}{2} \cdot (- e^{- x})$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + 1 (\frac{5}{2}) \cdot e^{- x}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{5}{2} \cdot e^{- x}$

Etapa 2.3.10

Combine $\frac{5}{2}$ e $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{5 e^{- x}}{2}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{5}{2}$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{5 e^{- x}}{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [5 e^{x} + 5 e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 e^{x} + 5 e^{- x})$

Etapa 4.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 e^{x} + 5 e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (5 e^{x}) + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Etapa 4.1.1.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + \frac{d}{d x} (5 e^{- x}))$

Etapa 4.1.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{- x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} (e^{- x}))$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)))$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)))$

Etapa 4.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)))$

Etapa 4.1.5

Diferencie.

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Etapa 4.1.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} + 5 e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x} \frac{d}{d x} x)$

Etapa 4.1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x} \cdot 1)$

Etapa 4.1.5.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x} - 5 e^{- x})$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

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Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 e^{x}) + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Etapa 4.1.6.2

Combine os termos.

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Etapa 4.1.6.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5}{2} \cdot e^{x} + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Etapa 4.1.6.2.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 5 e^{- x})$

Etapa 4.1.6.2.3

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot e^{- x}$

Etapa 4.1.6.2.4

Combine $\frac{- 5}{2}$ e $e^{- x}$ .

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} + \frac{- 5 e^{- x}}{2}$

Etapa 4.1.6.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{5 e^{x}}{2} - \frac{5 e^{- x}}{2} = 0$

Etapa 5.2

Mova $- \frac{5 e^{- x}}{2}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$\frac{5 e^{x}}{2} = \frac{5 e^{- x}}{2}$

Etapa 5.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$5 e^{x} = 5 e^{- x}$

Etapa 5.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5 e^{x}) = \ln (5 e^{- x})$

Etapa 5.5

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.1

Reescreva $\ln (5 e^{x})$ como $\ln (5) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{x}) = \ln (5 e^{- x})$

Etapa 5.5.2

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (5) + x \ln (e) = \ln (5 e^{- x})$

Etapa 5.5.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (5) + x \cdot 1 = \ln (5 e^{- x})$

Etapa 5.5.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5 e^{- x})$

Etapa 5.6

Expanda o lado direito.

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Etapa 5.6.1

Reescreva $\ln (5 e^{- x})$ como $\ln (5) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) + \ln (e^{- x})$

Etapa 5.6.2

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$\ln (5) + x = \ln (5) - x \ln (e)$

Etapa 5.6.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) - x \cdot 1$

Etapa 5.6.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) - x$

Etapa 5.7

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (5) - \ln (5) = - x - x$

Etapa 5.8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{5}) = - x - x$

Etapa 5.9

Divida $5$ por $5$ .

$\ln (1) = - x - x$

Etapa 5.10

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 = - x - x$

Etapa 5.11

Subtraia $x$ de $- x$ .

$0 = - 2 x$

Etapa 5.12

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 2 x = 0$

Etapa 5.13

Divida cada termo em $- 2 x = 0$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.13.1

Divida cada termo em $- 2 x = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.13.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.13.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.13.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.13.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Etapa 5.13.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.13.3.1

Divida $0$ por $- 2$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{5 e^{0}}{2} + \frac{5 e^{- (0)}}{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 e^{0} + 5 e^{- (0)}}{2}$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 e^{- (0)}}{2}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 5 e^{- (0)}}{2}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{5 + 5 e^{0}}{2}$

Etapa 9.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{5 + 5 \cdot 1}{2}$

Etapa 9.2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 5}{2}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Some $5$ e $5$ .

$\frac{10}{2}$

Etapa 9.3.2

Divida $10$ por $2$ .

$5$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{5 e^{0} + 5 e^{- (0)}}{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.1.1

Fatore $5$ de $5 e^{0} + 5 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{5 (e^{0} + e^{- (0)})}{2}$

Etapa 11.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + e^{- (0)})}{2}$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + e^{0})}{2}$

Etapa 11.2.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = \frac{5 (1 + 1)}{2}$

Etapa 11.2.1.5

Some $1$ e $1$ .

$f (0) = \frac{5 \cdot 2}{2}$

Etapa 11.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.2.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (0) = \frac{10}{2}$

Etapa 11.2.2.2

Divida $10$ por $2$ .

$f (0) = 5$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 5)$ é um mínimo local

Etapa 13