Cálculo Exemplos

$y = \frac{9}{11} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{9}{11} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{9}{11} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{9}{11}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{11} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{9}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{9}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 25$ .

$\frac{9}{11} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 25$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.8

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.9

Mova ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{11} (\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Etapa 2.10

Multiplique $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{9}{11}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 2.11

Multiplique.

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Etapa 2.11.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{18}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 2.11.2

Multiplique $11$ por $3$ .

$\frac{18}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 2.12

Fatore $3$ de $18$ .

$\frac{3 (6)}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.13.1

Fatore $3$ de $33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (6)}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 6}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Etapa 2.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Etapa 2.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Etapa 2.16

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Etapa 2.17

Combine frações.

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Etapa 2.17.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Etapa 2.17.2

Combine $2$ e $\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Etapa 2.17.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{12}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} x$

Etapa 2.17.4

Combine $\frac{12}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $\frac{12}{11}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.9

Combine frações.

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Etapa 3.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.9.3

Mova ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.9.4

Combine $\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.12

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.13

Combine frações.

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Etapa 3.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.13.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.13.4

Combine $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.17

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.19

Para escrever ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.20

Combine ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.22

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.22.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.22.4

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.22.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.23

Simplifique ${(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.24

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.25

Reescreva $\frac{\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 3.26

Multiplique $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.27

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.27.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 3.27.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 3.27.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 3.27.4

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{11} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.28

Multiplique $\frac{12}{11}$ por $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{11 (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 3.29

Multiplique $3$ por $11$ .

$f'' (x) = \frac{12 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.30

Fatore $3$ de $12 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}))}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.31

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.31.1

Fatore $3$ de $33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}))}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 3.31.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3 (4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}))}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 3.31.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.32.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 - 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.32.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.32.3.1.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 25) + 4 (- 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.3.1.2

Multiplique $4 (3 \cdot - 25)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.32.3.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 75 + 4 (- 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.3.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 75$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 300 + 4 (- 2 x^{2})}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 300 - 8 x^{2}}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.3.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 300}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 300$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.32.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 300}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.4.2

Fatore $4$ de $- 300$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 75}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.32.4.3

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 75$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 75)}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.8

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.9

Mova ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 5.1.10

Multiplique $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{9}{11}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 9}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 5.1.11

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.11.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$f' (x) = \frac{18}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 11} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 5.1.11.2

Multiplique $11$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{18}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 5.1.12

Fatore $3$ de $18$ .

$f' (x) = \frac{3 (6)}{33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 5.1.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.13.1

Fatore $3$ de $33 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (6)}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 5.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 6}{3 (11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 5.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 5.1.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))$

Etapa 5.1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))$

Etapa 5.1.16

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 5.1.17

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.17.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Etapa 5.1.17.2

Combine $2$ e $\frac{6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 6}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Etapa 5.1.17.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Etapa 5.1.17.4

Combine $\frac{12}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$12 x = 0$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$x = 0$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{12 x}{11 \sqrt[3]{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

Etapa 7.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{12 x}{11 \sqrt[3]{x^{2} - 25}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{12 x}{11 \sqrt[3]{x^{2} - 25}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$11 \sqrt[3]{x^{2} - 25} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(11 \sqrt[3]{x^{2} - 25})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} - 25}$ como ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$11^{3} {({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Eleve $11$ à potência de $3$ .

$1331 {({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1331 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$1331 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1331 {(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.4

Simplifique.

$1331 (x^{2} - 25) = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1331 x^{2} + 1331 \cdot - 25 = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.6

Multiplique $1331$ por $- 25$ .

$1331 x^{2} - 33275 = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$1331 x^{2} - 33275 = 0$

Etapa 7.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Some $33275$ aos dois lados da equação.

$1331 x^{2} = 33275$

Etapa 7.3.3.2

Divida cada termo em $1331 x^{2} = 33275$ por $1331$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Divida cada termo em $1331 x^{2} = 33275$ por $1331$ .

$\frac{1331 x^{2}}{1331} = \frac{33275}{1331}$

Etapa 7.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $1331$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1331 x^{2}}{1331} = \frac{33275}{1331}$

Etapa 7.3.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{33275}{1331}$

Etapa 7.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.3.1

Divida $33275$ por $1331$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 7.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 7.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 7.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 7.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 7.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 7.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 7.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 5, x = 5$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 5, 5$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 75)}{11 {({(0)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 (0 - 75)}{11 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.1.2

Subtraia $75$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 75}{11 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 \cdot - 75}{11 {(0 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.2.2

Subtraia $25$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 75}{11 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $4$ por $- 75$ .

$\frac{- 300}{11 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 10.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{300}{11 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{9}{11} \cdot {({(0)}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{9}{11} \cdot {(0 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 12.2.1.2

Subtraia $25$ de $0$ .

$f (0) = \frac{9}{11} \cdot {(- 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 12.2.2

Combine $\frac{9}{11}$ e ${(- 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{9 {(- 25)}^{\frac{2}{3}}}{11}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $\frac{9 {(- 25)}^{\frac{2}{3}}}{11}$ .

$y = \frac{9 {(- 25)}^{\frac{2}{3}}}{11}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 {({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 {(25 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 14.1.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 14.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 14.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 14.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0^{4}}$

Etapa 14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{11 \cdot 0}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $11$ por $0$ .

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Etapa 14.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{4 ({(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Etapa 14.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 15

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 15.2

Substitua qualquer número, como $- 8$ , do intervalo $(- \infty, - 5)$ na primeira derivada $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f' (- 8) = \frac{12 (- 8)}{11 {({(- 8)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Multiplique $12$ por $- 8$ .

$f' (- 8) = \frac{- 96}{11 {({(- 8)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f' (- 8) = \frac{- 96}{11 {(64 - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.2.2.2.2

Subtraia $25$ de $64$ .

$f' (- 8) = \frac{- 96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 8) = - \frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.2.2.4

A resposta final é $- \frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- 5, 0)$ na primeira derivada $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{12 (- 2)}{11 {({(- 2)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{11 {({(- 2)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{11 {(4 - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.2.2.2

Subtraia $25$ de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.2.4

A resposta final é $- \frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, 5)$ na primeira derivada $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{12 (2)}{11 {({(2)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{24}{11 {(2^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = \frac{24}{11 {(4 - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.4.2.2.2

Subtraia $25$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.4.2.3

A resposta final é $\frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{24}{11 {(- 21)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.5

Substitua qualquer número, como $8$ , do intervalo $(5, \infty)$ na primeira derivada $\frac{12 x}{11 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = \frac{12 (8)}{11 {({(8)}^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.2.1

Multiplique $12$ por $8$ .

$f' (8) = \frac{96}{11 {(8^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.2.2.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f' (8) = \frac{96}{11 {(64 - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.5.2.2.2

Subtraia $25$ de $64$ .

$f' (8) = \frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.5.2.3

A resposta final é $\frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{96}{11 \cdot 39^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 5$ , então $x = - 5$ é um mínimo local.

$x = - 5$ é um mínimo local

Etapa 15.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 15.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 5$ , então $x = 5$ é um mínimo local.

$x = 5$ é um mínimo local

Etapa 15.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{9}{11} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 5$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 5$ é um mínimo local

$x = - 5$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 5$ é um mínimo local

Etapa 16