Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Etapa 1.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 x \ln (x) = - x$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Etapa 2.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.5

Reescreva $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Etapa 2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 2.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 3.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 4

Avalie $x^{2} \ln (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $x$ .

${(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{1}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.2.2.2

Simplifique.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.2.3

Mova $e^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 4.1.2.4

Expanda $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ movendo $- \frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \ln (e))$

Etapa 4.1.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $e$ .

$- \frac{1}{2 e}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} \ln (0)$

Etapa 4.2.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$

Etapa 5