Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{\ln (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Etapa 1.3

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{1}{x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} 4 x^{3} x$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x^{3})$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 3}$

Etapa 5.3

Some $1$ e $3$ .

$lim_{x \to \infty} 4 x^{4}$

Etapa 6

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\infty$