Cálculo Exemplos

$f'' (x) = 24 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Etapa 1

É possível determinar a função $f' (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 24 x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Etapa 3

Como $24$ é constante com relação a $x$ , mova $24$ para fora da integral.

$24 \int x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Etapa 5

Como $- 18$ é constante com relação a $x$ , mova $- 18$ para fora da integral.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

Etapa 7

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 9.2.2

Combine $8$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 9.2.3.1

Fatore $2$ de $8 x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

Etapa 9.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Etapa 9.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 9.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

Etapa 9.2.3.2.4

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Etapa 10

A função $f'$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$f' (x) = 6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Etapa 11

É possível determinar a função $f (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Etapa 12

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 6 x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Etapa 13

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Etapa 15

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Etapa 16

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Etapa 17

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

Etapa 18

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Etapa 19

Aplique a regra da constante.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Simplifique.

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Etapa 20.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Etapa 20.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Etapa 20.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

Etapa 20.2

Simplifique.

$\frac{6 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

Etapa 21

Reordene os termos.

$\frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

Etapa 22

A função $f$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$f (x) = \frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$