Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{5}{8}$ e $x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 8.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 8.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.2.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 8.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 10.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 11

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 \int x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 13

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 14

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 \int \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Etapa 15

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \int \ln (3) d x$

Etapa 16

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \ln (3) x + C$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Simplifique.

$\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Etapa 17.2

Reordene os termos.

$\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$