Cálculo Exemplos

$y = 6 \sin (x)$ , $0 \leq x \leq π$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$6 \sin (x) = 0$

Etapa 1.2

Resolva $6 \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $6 \sin (x) = 0$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 1.2.1.1

Divida cada termo em $6 \sin (x) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 1.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.1.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 1.2.5

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 1.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Substitua $π n$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = π n$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{π} 6 \sin (x) d x - \int_{0}^{π} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $π$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{π} 6 \sin (x) - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $6 \sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} 6 \sin (x) d x$

Etapa 3.3

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Etapa 3.4

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$6 (- \cos (x)]_{0}^{π})$

Etapa 3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.5.1

Avalie $- \cos (x)$ em $π$ e em $0$ .

$6 (- \cos (π) + \cos (0))$

Etapa 3.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$6 (- \cos (π) + 1)$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$6 (- - \cos (0) + 1)$

Etapa 3.5.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$6 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Etapa 3.5.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 (- - 1 + 1)$

Etapa 3.5.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$6 (1 + 1)$

Etapa 3.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$6 \cdot 2$

Etapa 3.5.3.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$12$

Etapa 4