Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[- 2, 2]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2} + 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 1.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 1.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 1.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Reordene $x^{2}$ e $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Etapa 5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

Etapa 7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Avalie $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ em $2$ e em $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Etapa 7.2.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Etapa 7.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

Etapa 7.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

Etapa 7.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

Etapa 7.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

Etapa 7.2.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

Etapa 7.3.2.2

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Etapa 7.3.2.3

Multiplique $- - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

Etapa 7.3.2.3.2

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Etapa 7.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

Etapa 7.3.4

Some $π$ e $π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

Etapa 7.3.5

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 7.3.5.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

Etapa 7.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Etapa 7.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Etapa 7.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Etapa 7.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 7.3.7

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.3.7.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 7.3.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

Etapa 8

Some $2$ e $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 9

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Etapa 9.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$A (x) = \frac{π}{16}$

Etapa 10