Cálculo Exemplos

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${t | t \in ℝ}$

Etapa 2

$f (t)$ é contínuo em $[0, 7]$ .

$f (t)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

Etapa 5

Deixe $u = - t^{2}$ . Depois, $d u = - 2 t d t$ , então, $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - t^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Etapa 5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 t)$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 t$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = - t^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = - t^{2}$ .

$u_{upper} = - 7^{2}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

Etapa 5.5.2

Multiplique $- 1$ por $49$ .

$u_{upper} = - 49$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Etapa 6.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $e^{u}$ em $- 49$ e em $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

Etapa 10.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Etapa 11.3

Multiplique $\frac{1}{e^{49}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Etapa 11.4

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 11.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Etapa 11.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Etapa 11.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{49}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Etapa 12

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Etapa 12.2

Some $7$ e $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 14

Multiplique $\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ .

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{1}{2 e^{49}}$ .

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 14.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 15

Multiplique $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 15.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

Etapa 15.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

Etapa 16