Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Resolva $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Simplifique.

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Simplifique ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

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Etapa 1.2.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Etapa 1.2.3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique cada termo em $x = \frac{1}{x^{3}}$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique cada termo em $x = \frac{1}{x^{3}}$ por $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 1.2.3.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Etapa 1.2.3.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{4} = 1$

Etapa 1.2.3.3

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Etapa 1.2.3.3.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.3.3.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.3.3.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3.3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{1}$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = \frac{1}{1}$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{1}$

Etapa 1.3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$y = 1$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.4.2

Divida $1$ por $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $\sqrt[3]{x}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Etapa 3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Etapa 3.6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Etapa 3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.8.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Etapa 3.8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.8.2.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $1$ e em $- 1$ .

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Etapa 3.8.2.2

Avalie $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ em $1$ e em $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.8.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 3.8.2.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 3.8.2.3.3

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 3.8.2.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Etapa 3.8.2.3.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.8.2.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Etapa 3.8.2.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

Etapa 3.8.2.3.6

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Etapa 3.8.2.3.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 3.8.2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

Etapa 3.8.2.3.9

Subtraia $3$ de $3$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

Etapa 3.8.2.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

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Etapa 3.8.2.3.10.1

Fatore $4$ de $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

Etapa 3.8.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.10.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.8.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.8.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

Etapa 3.8.2.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

Etapa 3.8.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

Etapa 3.8.2.3.12

Some $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ e $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

Etapa 3.8.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

Etapa 3.8.4

Simplifique.

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Etapa 3.8.4.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

Etapa 3.8.4.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$\ln (\frac{1}{1})$

Etapa 3.8.4.3

Divida $1$ por $1$ .

$\ln (1)$

Etapa 3.9

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0$

Etapa 4