Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \sin (x) \ln (2 x)$

Etapa 1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (2 x)$

Etapa 2

Reescreva $\sin (x) \ln (2 x)$ como $\frac{\ln (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 3.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (2 x)$ diminui sem limites.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}$

Etapa 3.1.3.2

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ a partir da direita, os valores da função aumentam sem limites.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.5.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.5.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Etapa 3.3.8

Reescreva $\frac{1}{\sin (x)}$ como $\sin^{- 1} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.3.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.10

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}$

Etapa 3.3.11

Simplifique.

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Etapa 3.3.11.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}$

Etapa 3.3.11.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}$

Etapa 3.6

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}$

Etapa 3.7

Separe as frações.

$lim_{x \to 0^{+}} - (\frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Etapa 3.8

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - (\frac{\sin (x)}{x} \tan (x))$

Etapa 3.9

Combine $\frac{\sin (x)}{x}$ e $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}$

Etapa 4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.5.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.2.5.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.2.5.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0}{0}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5

Simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Reordene os termos.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.5.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2.4

Combine $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2.5

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.5.2.5.1

Reordene $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2.5.2

Reescreva $\cos (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2.5.3

Cancele os fatores comuns.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}$

Etapa 5.4

Combine os termos.

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Etapa 5.4.1

Para escrever $\sin (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}$

Etapa 5.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}$

Etapa 5.5

Divida $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

Etapa 6.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

Etapa 6.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

Etapa 6.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

Etapa 6.6

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

Etapa 6.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

Etapa 6.8

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Etapa 7.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}$

Etapa 8.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}$

Etapa 8.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}$

Etapa 8.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}$

Etapa 8.1.6

Some $0$ e $0$ .

$- \frac{0}{\cos^{2} (0)}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{0}{1^{2}}$

Etapa 8.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{0}{1}$

Etapa 8.3

Divida $0$ por $1$ .

$- 0$

Etapa 8.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$