Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x - 1)$

Etapa 1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico direito.

$lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) \ln (x - 1)$

Etapa 2

Reescreva $(x - 1) \ln (x - 1)$ como $\frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Etapa 3.1.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Etapa 3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Etapa 3.3.6

Reescreva $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ como $\ln^{- 1} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x - 1)]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \ln (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 3.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 3.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 3.3.8.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 3.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Etapa 3.3.9

Combine $\frac{1}{x - 1}$ e $\ln^{- 2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{\ln^{- 2} (x - 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.3.10

Mova $\ln^{- 2} (x - 1)$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.3.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Etapa 3.3.13

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + 0)}$

Etapa 3.3.14

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \cdot 1}$

Etapa 3.3.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}}$

Etapa 3.3.16

Reordene os fatores em $- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{\ln^{2} (x - 1) (x - 1)}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1^{+}} 1 (- (\ln^{2} (x - 1) (x - 1)))$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) (x - 1))$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1) \cdot - 1)$

Etapa 3.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $\ln^{2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - 1 \cdot \ln^{2} (x - 1))$

Etapa 3.8

Reescreva $- 1 \ln^{2} (x - 1)$ como $- \ln^{2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - \ln^{2} (x - 1))$

Etapa 3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x) - - \ln^{2} (x - 1)$

Etapa 3.10

Multiplique $- - \ln^{2} (x - 1)$ .

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + 1 \ln^{2} (x - 1)$

Etapa 3.10.2

Multiplique $\ln^{2} (x - 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$

Etapa 3.11

Reordene os fatores em $- \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1) \\ 1.1 & - 0.53018981 \\ 1.01 & - 0.21207592 \\ 1.001 & - 0.04771708 \\ 1.0001 & - 0.00848303 \\ 1.00001 & - 0.00132547 \\ 1.000001 & - 0.00019086 \\ 1.0000001 & - 0.00002597 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $1$ , os valores da função se aproximam de $0$ . Portanto, o limite de $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da direita é $0$ .

$0$