Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \ln (x)$

Etapa 1

Reescreva $x^{2} \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{x^{- 2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 2}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 2}}$

Etapa 2.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x)$ diminui sem limites.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 2}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.1.3.2

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima do infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 2}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 2}]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 2}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 x^{- 3}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 2.3.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 2}{x^{3}}}$

Etapa 2.3.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{2}{x^{3}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{3}}{2})$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x^{3}}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{x \cdot 2}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 2.6.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 2}$

Etapa 2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.2.1

Fatore $x$ de $x \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{2}}{x (2)}$

Etapa 2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 2}$

Etapa 2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 3.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} x^{2}$

Etapa 3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 5.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Etapa 5.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

Etapa 5.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$0$