Cálculo Exemplos

$e^{x} \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 2.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $\cos (x) + \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.4

Separe as frações.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 2.5.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 2.5.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Etapa 2.5.2.8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 2.5.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 2.5.2.10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.10.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5.2.11

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 2.5.2.12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.5.2.12.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 2.5.2.12.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.5.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 2.5.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.5.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.5.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.5.2.14

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 2.5.2.14.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 2.5.2.14.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5.2.14.3

Combine frações.

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Etapa 2.5.2.14.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5.2.14.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 2.5.2.14.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.14.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 2.5.2.14.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 2.5.2.14.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.5.2.15

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $e^{x} \sin (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.1.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.1.2.3

Combine $e^{\frac{3 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 4.2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 4.2.2.3

Combine $e^{\frac{7 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{11 π}{4}$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{11 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{11 π}{4})$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.3.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.3.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3.2.4

Combine $e^{\frac{11 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.4

Avalie em $x = \frac{15 π}{4}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua $\frac{15 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{15 π}{4})$

Etapa 4.4.2

Simplifique.

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Etapa 4.4.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 4.4.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 4.4.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 4.4.2.4

Combine $e^{\frac{15 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.5

Avalie em $x = \frac{19 π}{4}$ .

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Etapa 4.5.1

Substitua $\frac{19 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{19 π}{4})$

Etapa 4.5.2

Simplifique.

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Etapa 4.5.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.5.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.5.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.5.2.4

Combine $e^{\frac{19 π}{4}}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.6

Liste todos os pontos.

$(\frac{3 π}{4}, \frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{11 π}{4}, \frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{15 π}{4}, - \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{19 π}{4}, \frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$

Etapa 5