Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 1.1.3.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.3.8

Combine $- 3$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Etapa 1.1.3.9

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Etapa 2.2

Encontre um divisor comum $x^{\frac{1}{2}}$ que esteja presente em cada termo.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$

Etapa 2.3

Substitua $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (u)}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Etapa 2.4

Resolva $u$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Multiplique $3$ por $u$ .

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Etapa 2.4.1.2

Remova os parênteses.

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$

Etapa 2.4.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2, 2 u^{3}, 1$

Etapa 2.4.2.2

Since $2, 2 u^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $u^{3}$ .

Etapa 2.4.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 2.4.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4.2.6

O MMC de $2, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 2.4.2.7

Os fatores para $u^{3}$ são $u \cdot u \cdot u$ , que é $u$ multiplicado um pelo outro $3$ vezes.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ ocorre $3$ vezes.

Etapa 2.4.2.8

O MMC de $u^{3}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$u \cdot u \cdot u$

Etapa 2.4.2.9

Simplifique $u \cdot u \cdot u$ .

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Etapa 2.4.2.9.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Etapa 2.4.2.9.2

Multiplique $u^{2}$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.9.2.1

Multiplique $u^{2}$ por $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.9.2.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Etapa 2.4.2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u^{2 + 1}$

Etapa 2.4.2.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$u^{3}$

Etapa 2.4.2.10

O MMC de $2, 2 u^{3}, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 u^{3}$

Etapa 2.4.3

Multiplique cada termo em $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ por $2 u^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ por $2 u^{3}$ .

$\frac{3 u}{2} (2 u^{3}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$3 u \cdot u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.3

Multiplique $u$ por $u^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1.3.1

Mova $u^{3}$ .

$3 (u^{3} u) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.3.2

Multiplique $u^{3}$ por $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1.3.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$3 (u^{3} u^{1}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 u^{3 + 1} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.3.3

Some $3$ e $1$ .

$3 u^{4} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2 u^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{15}{2 u^{3}}$ para o numerador.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$3 u^{4} - 15 = 0 (2 u^{3})$

Etapa 2.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.1

Multiplique $0 (2 u^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$3 u^{4} - 15 = 0 u^{3}$

Etapa 2.4.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $u^{3}$ .

$3 u^{4} - 15 = 0$

Etapa 2.4.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$3 u^{4} = 15$

Etapa 2.4.4.2

Divida cada termo em $3 u^{4} = 15$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Divida cada termo em $3 u^{4} = 15$ por $3$ .

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Etapa 2.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Etapa 2.4.4.2.2.1.2

Divida $u^{4}$ por $1$ .

$u^{4} = \frac{15}{3}$

Etapa 2.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.3.1

Divida $15$ por $3$ .

$u^{4} = 5$

Etapa 2.4.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt[4]{5}$

Etapa 2.4.4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = \sqrt[4]{5}$

Etapa 2.4.4.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - \sqrt[4]{5}$

Etapa 2.4.4.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Etapa 2.5

Substitua $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Etapa 2.6

Resolva $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Etapa 2.6.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Etapa 2.6.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Etapa 2.6.2.1.1.2

Simplifique.

$x = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Reescreva ${\sqrt[4]{5}}^{2}$ como $\sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{5}$ como $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(5^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Etapa 2.6.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$x = 5^{\frac{2}{4}}$

Etapa 2.6.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = 5^{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 2.6.2.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.6.2.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.6.2.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x = 5^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.6.2.2.1.5

Reescreva $5^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{5}$

Etapa 2.7

Liste todas as soluções.

$x = \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Etapa 3.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Etapa 3.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 3.3

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} < 0$

Etapa 3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.4.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 3.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Etapa 4

Avalie $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\sqrt{5}$ por $x$ .

${(\sqrt{5})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(\sqrt{5})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 4.1.2

Remova os parênteses.

${\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(\sqrt{5}, {\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 5