Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{12}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{12} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{4}{12}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \cdot x$

Etapa 2.1.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Etapa 2.1.3.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 2.1.3.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Etapa 2.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Etapa 2.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- x}{1}$

Etapa 2.1.3.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 1$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $1$ em $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot {(1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{1 - 6}{12}$

Etapa 4.1.2.5

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 5}{12}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (1) = - \frac{5}{12}$

Etapa 4.1.2.7

A resposta final é $- \frac{5}{12}$ .

$- \frac{5}{12}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ é $(1, - \frac{5}{12})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, - \frac{5}{12})$

Etapa 4.3

Substitua $- 1$ em $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2}))$

Etapa 4.3.2.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 4.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

Etapa 4.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{1 - 6}{12}$

Etapa 4.3.2.5

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 5}{12}$

Etapa 4.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 1) = - \frac{5}{12}$

Etapa 4.3.2.7

A resposta final é $- \frac{5}{12}$ .

$- \frac{5}{12}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ é $(- 1, - \frac{5}{12})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, - \frac{5}{12})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, - \frac{5}{12}), (- 1, - \frac{5}{12})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = {(- 1.1)}^{2} - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 1.21 - 1$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1$ de $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 0.21$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.21$ .

$0.21$

Etapa 6.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $0.21$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Etapa 7.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 1, 1)$ .

Decréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = {(1.1)}^{2} - 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = 1.21 - 1$

Etapa 8.2.2

Subtraia $1$ de $1.21$ .

$f'' (1.1) = 0.21$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $0.21$ .

$0.21$

Etapa 8.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $0.21$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$ .

$(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$

Etapa 10