Cálculo Exemplos

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (y)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ em que $f (y) = - y^{2} + 14 y$ e $g (y) = y^{2}$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ como $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ .

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.2

Expanda $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.2.1

Mova $y^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $y^{4}$ por $1$ .

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.6.1

Mova $y$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.6.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 2.1.3.1.6.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.9.1

Mova $y^{2}$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 2.1.3.1.9.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.9.3

Some $2$ e $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.10

Multiplique $14$ por $- 1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.12

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.12.1

Mova $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.12.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.13

Multiplique $14$ por $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.3.2

Subtraia $14 y^{3}$ de $- 14 y^{3}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Etapa 2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

Etapa 2.2

Combine os termos opostos em $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ .

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Etapa 2.2.1

Subtraia $y^{4}$ de $y^{4}$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

Etapa 2.2.2

Some $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ e $0$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Etapa 4

Como $- 28$ é constante com relação a $y$ , mova $- 28$ para fora da integral.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Etapa 7

Como $196$ é constante com relação a $y$ , mova $196$ para fora da integral.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\frac{y^{4}}{4}$ em $7$ e em $0$ .

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Etapa 9.2.2

Avalie $\frac{y^{3}}{3}$ em $7$ e em $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3

Simplifique.

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Etapa 9.2.3.1

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

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Etapa 9.2.3.3.1

Fatore $4$ de $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.5

Some $\frac{2401}{4}$ e $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.6

Combine $- 28$ e $\frac{2401}{4}$ .

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.7

Multiplique $- 28$ por $2401$ .

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.8

Cancele o fator comum de $- 67228$ e $4$ .

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Etapa 9.2.3.8.1

Fatore $4$ de $- 67228$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.8.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.8.2.4

Divida $- 16807$ por $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.9

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

Etapa 9.2.3.11

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 9.2.3.11.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Etapa 9.2.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

Etapa 9.2.3.11.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

Etapa 9.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

Etapa 9.2.3.13

Some $\frac{343}{3}$ e $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

Etapa 9.2.3.14

Combine $196$ e $\frac{343}{3}$ .

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

Etapa 9.2.3.15

Multiplique $196$ por $343$ .

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

Etapa 9.2.3.16

Para escrever $- 16807$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

Etapa 9.2.3.17

Combine $- 16807$ e $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

Etapa 9.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

Etapa 9.2.3.19

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.3.19.1

Multiplique $- 16807$ por $3$ .

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

Etapa 9.2.3.19.2

Some $- 50421$ e $67228$ .

$V = π (\frac{16807}{3})$

Etapa 9.2.3.20

Combine $π$ e $\frac{16807}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

Etapa 9.2.3.21

Mova $16807$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{16807 π}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{16807 π}{3}$

Forma decimal:

$V = 17600.24924296 \dots$

Etapa 11