Cálculo Exemplos

$y = \sec^{2} (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{6}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sec^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\sec^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sec (x) = \pm 0$

Etapa 1.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\sec (x) = 0$

Etapa 1.2.3

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{6}} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $\frac{π}{6}$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 3.3

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Etapa 3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.4.1

Avalie $\tan (x)$ em $\frac{π}{6}$ e em $0$ .

$\tan (\frac{π}{6}) - \tan (0)$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (0)$

Etapa 3.4.2.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + 0$

Etapa 3.4.2.4

Some $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$0.57735026 \dots$

Etapa 5