Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 1.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$f' (x) = e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 1.1.2.5

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 1.1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 e^{3 x} - e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Etapa 2.2

Mova $- e^{- x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$3 e^{3 x} = e^{- x}$

Etapa 2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $\ln (3 e^{3 x})$ como $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.4.2

Expanda $\ln (e^{3 x})$ movendo $3 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.4.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.5

Expanda o lado direito.

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Etapa 2.5.1

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + 3 x = - x \ln (e)$

Etapa 2.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x \cdot 1$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x$

Etapa 2.6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.6.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\ln (3) + 3 x + x = 0$

Etapa 2.6.2

Some $3 x$ e $x$ .

$\ln (3) + 4 x = 0$

Etapa 2.7

Subtraia $\ln (3)$ dos dois lados da equação.

$4 x = - \ln (3)$

Etapa 2.8

Divida cada termo em $4 x = - \ln (3)$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.8.1

Divida cada termo em $4 x = - \ln (3)$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Etapa 2.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.8.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Etapa 2.8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{4}$

Etapa 2.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- \frac{\ln (3)}{4}$ .

$- \frac{\ln (3)}{4}$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - \frac{\ln (3)}{4}) \cup (- \frac{\ln (3)}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (3)}{4}) \cup (- \frac{\ln (3)}{4}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\ln (3)}{4})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.27465307$ na expressão.

$f' (- 1.27465307) = 3 e^{3 (- 1.27465307)} - e^{- (- 1.27465307)}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 1.27465307$ .

$f' (- 1.27465307) = 3 e^{- 3.82395921} - e^{- (- 1.27465307)}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27465307) = 3 (\frac{1}{e^{3.82395921}}) - e^{- (- 1.27465307)}$

Etapa 5.2.1.3

Combine $3$ e $\frac{1}{e^{3.82395921}}$ .

$f' (- 1.27465307) = \frac{3}{e^{3.82395921}} - e^{- (- 1.27465307)}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1.27465307$ .

$f' (- 1.27465307) = \frac{3}{e^{3.82395921}} - e^{1.27465307}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\frac{3}{e^{3.82395921}} - e^{1.27465307}$ .

$\frac{3}{e^{3.82395921}} - e^{1.27465307}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$- 3.5119366$

Etapa 5.4

Em $x = - 1.27465307$ , a derivada é $- 3.5119366$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \frac{\ln (3)}{4})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{\ln (3)}{4})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\ln (3)}{4}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.72534692$ na expressão.

$f' (0.72534692) = 3 e^{3 (0.72534692)} - e^{- (0.72534692)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $3$ por $0.72534692$ .

$f' (0.72534692) = 3 e^{2.17604078} - e^{- (0.72534692)}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.72534692$ .

$f' (0.72534692) = 3 e^{2.17604078} - e^{- 0.72534692}$

Etapa 6.2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72534692) = 3 e^{2.17604078} - \frac{1}{e^{0.72534692}}$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $3 e^{2.17604078} - \frac{1}{e^{0.72534692}}$ .

$3 e^{2.17604078} - \frac{1}{e^{0.72534692}}$

Etapa 6.3

Simplifique.

$25.9498966$

Etapa 6.4

Em $x = 0.72534692$ , a derivada é $25.9498966$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \frac{\ln (3)}{4}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \frac{\ln (3)}{4}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \frac{\ln (3)}{4}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - \frac{\ln (3)}{4})$

Etapa 8