Cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{2} + 2}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{x^{2} + 2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 2}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - x (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - x (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.8.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8.2

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8.4

Reescreva $- (x^{2} - 2)$ como $- 1 (x^{2} - 2)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{2}}{{({(x^{2} + 2)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 2)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(x^{2} + 2)}^{2} x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - (x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - (x^{2} - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - (x^{2} - 2) (2 (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 2 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 2 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 2 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} (2)))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.5.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 2 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 2 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (2 x))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.5.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 2 (x^{2} - 2) (2 \cdot ((x^{2} + 2) x))}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.5.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 4 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.2.5.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 4 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.2.5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.5.7.1

Multiplique $\frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 4 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}} + 0$

Etapa 2.1.2.5.7.2

Some $- \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 4 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x - 4 (x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) ((x^{2} + 2) x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.1

Reescreva ${(x^{2} + 2)}^{2}$ como $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 2)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.2

Expanda $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.6.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.2

Some $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x^{4} + 4 x^{2} + 4) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{4} + 2 (4 x^{2}) + 2 \cdot 4) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{4} + 8 x^{2} + 2 \cdot 4) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{4} + 8 x^{2} + 8) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{4} x + 8 x^{2} x + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{4}) + 8 x^{2} x + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{4}) + 8 x^{2} x + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 4} + 8 x^{2} x + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{2} x + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{1 + 2} + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 2) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.8

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x + (- 4 x^{2} + 8) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.9

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.9.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x + (- 4 x^{2} + 8) (x^{2} x + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x + (- 4 x^{2} + 8) (x^{2 + 1} + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.9.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x + (- 4 x^{2} + 8) (x^{3} + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.10

Expanda $(- 4 x^{2} + 8) (x^{3} + 2 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{2} (x^{3} + 2 x) + 8 (x^{3} + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (2 x) + 8 (x^{3} + 2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (2 x) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (2 x) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (2 x) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} - 4 x^{2} (2 x) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} - 4 \cdot (2 x^{2} x) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} - 4 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} - 4 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} - 4 \cdot (2 x^{1 + 2}) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} - 4 \cdot (2 x^{3}) + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} - 8 x^{3} + 8 x^{3} + 8 (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.5

Multiplique $2$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} - 8 x^{3} + 8 x^{3} + 16 x}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.2

Some $- 8 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} + 0 + 16 x}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.3

Some $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x - 4 x^{5} + 16 x}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.2

Subtraia $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{5} + 8 x^{3} + 8 x + 16 x}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.3

Some $8 x$ e $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{5} + 8 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{5} + 8 x^{3} + 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.1.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{4}) + 8 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.1.2

Fatore $2 x$ de $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (4 x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.1.3

Fatore $2 x$ de $24 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (4 x^{2}) + 2 x (12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{4}) + 2 x (4 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{4} + 4 x^{2}) + 2 x (12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{4} + 4 x^{2}) + 2 x (12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{4} + 4 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- u^{2} + 4 u + 12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e cuja soma é $b = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.4.1.1

Fatore $4$ de $4 u$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- u^{2} + 4 (u) + 12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.1.2

Reescreva $4$ como $- 2$ mais $6$

$f'' (x) = - \frac{2 x (- u^{2} + (- 2 + 6) u + 12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 6 u + 12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = - \frac{2 x ((- u^{2} - 2 u) + 6 u + 12)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{2 x (u (- u - 2) - 6 (- u - 2))}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x ((- u - 2) (u - 6))}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{2} - 2) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5

Cancele o fator comum de $- x^{2} - 2$ e ${(x^{2} + 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.5.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- (x^{2}) - 2) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 2) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (2)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- (x^{2} + 2)) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.4

Reescreva $- (x^{2} + 2)$ como $- 1 (x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- 1 (x^{2} + 2)) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.5

Fatore $x^{2} + 2$ de $2 x (- 1 (x^{2} + 2)) (x^{2} - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 2) (2 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} + 2)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.5.6.1

Fatore $x^{2} + 2$ de ${(x^{2} + 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 2) (2 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 6)))}{(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.5.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 2) (2 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 6)))}{(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.5.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{2 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{(2) x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.8

Multiplique $- - \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}})$

Etapa 2.1.2.6.8.2

Multiplique $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.3.3

Defina $x^{2} - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Defina $x^{2} - 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.2.3.3.2

Resolva $x^{2} - 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 6$

Etapa 2.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Etapa 2.2.3.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{6}$

Etapa 2.2.3.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{6}$

Etapa 2.2.3.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 2.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} + 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 3.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \sqrt{6})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f'' (- 5) = \frac{2 (- 5) ({(- 5)}^{2} - 6)}{{({(- 5)}^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f'' (- 5) = \frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 6)}{{({(- 5)}^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f'' (- 5) = \frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 6)}{{(25 + 2)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $25$ e $2$ .

$f'' (- 5) = \frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 6)}{27^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $27$ à potência de $3$ .

$f'' (- 5) = \frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 6)}{19683}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f'' (- 5) = \frac{- 10 (25 - 6)}{19683}$

Etapa 5.2.3.2

Subtraia $6$ de $25$ .

$f'' (- 5) = \frac{- 10 \cdot 19}{19683}$

Etapa 5.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $- 10$ por $19$ .

$f'' (- 5) = \frac{- 190}{19683}$

Etapa 5.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 5) = - \frac{190}{19683}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $- \frac{190}{19683}$ .

$- \frac{190}{19683}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \sqrt{6})$ porque $f'' (- 5)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \sqrt{6})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- \sqrt{6}, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{{(1 + 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{3^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 6)}{27}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 6)}{27}$

Etapa 6.2.3.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 5}{27}$

Etapa 6.2.4

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$f'' (- 1) = \frac{10}{27}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $\frac{10}{27}$ .

$\frac{10}{27}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \sqrt{6}, 0)$ porque $f'' (- 1)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \sqrt{6}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \sqrt{6})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 6)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 6)}{{(1^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 6)}{{(1 + 2)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 6)}{3^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 6)}{27}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 6)}{27}$

Etapa 7.2.3.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 5}{27}$

Etapa 7.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f'' (1) = \frac{- 10}{27}$

Etapa 7.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (1) = - \frac{10}{27}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \sqrt{6})$ porque $f'' (1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \sqrt{6})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

Substitua qualquer número do intervalo $(\sqrt{6}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f'' (5) = \frac{2 (5) ({(5)}^{2} - 6)}{{({(5)}^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f'' (5) = \frac{10 (5^{2} - 6)}{{(5^{2} + 2)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f'' (5) = \frac{10 (5^{2} - 6)}{{(25 + 2)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $25$ e $2$ .

$f'' (5) = \frac{10 (5^{2} - 6)}{27^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $27$ à potência de $3$ .

$f'' (5) = \frac{10 (5^{2} - 6)}{19683}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f'' (5) = \frac{10 (25 - 6)}{19683}$

Etapa 8.2.3.2

Subtraia $6$ de $25$ .

$f'' (5) = \frac{10 \cdot 19}{19683}$

Etapa 8.2.4

Multiplique $10$ por $19$ .

$f'' (5) = \frac{190}{19683}$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $\frac{190}{19683}$ .

$\frac{190}{19683}$

Etapa 8.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\sqrt{6}, \infty)$ porque $f'' (5)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\sqrt{6}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \sqrt{6})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \sqrt{6}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, \sqrt{6})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\sqrt{6}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 10