Cálculo Exemplos

$e^{2 x} + e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 1.1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 e^{2 x} - e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

Etapa 2.2

Mova $- e^{- x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

Etapa 2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $\ln (2 e^{2 x})$ como $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.4.2

Expanda $\ln (e^{2 x})$ movendo $2 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

Etapa 2.5

Expanda o lado direito.

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Etapa 2.5.1

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

Etapa 2.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x$

Etapa 2.6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.6.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

Etapa 2.6.2

Some $2 x$ e $x$ .

$\ln (2) + 3 x = 0$

Etapa 2.7

Subtraia $\ln (2)$ dos dois lados da equação.

$3 x = - \ln (2)$

Etapa 2.8

Divida cada termo em $3 x = - \ln (2)$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.8.1

Divida cada termo em $3 x = - \ln (2)$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Etapa 2.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.8.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Etapa 2.8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

Etapa 2.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $e^{2 x} + e^{- x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{\ln (2)}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{\ln (2)}{3}$ por $x$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{\ln (2)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (2)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.3.2

Simplifique $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique os expoentes em ${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.1.2.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Etapa 4.1.2.9

Reescreva $\frac{\ln (2)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

Etapa 4.1.2.10

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (2)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 4.1.2.11

Multiplique $- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

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Etapa 4.1.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 4.1.2.11.2

Multiplique $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 4.1.2.12

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5