Cálculo Exemplos

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.1.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.1.3.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Etapa 2.1.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Etapa 2.1.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 (x \cdot x^{- 4})$

Etapa 2.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Etapa 2.1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.1.4.3.1

Subtraia $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.1.4.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Etapa 2.1.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Etapa 3.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 3.2.6

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 3.2.7

Os fatores para $x^{3}$ são $x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $3$ vezes.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $3$ vezes.

Etapa 3.2.8

O MMC de $x^{2}, x^{3}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x$

Etapa 3.2.9

Simplifique $x \cdot x \cdot x$ .

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Etapa 3.2.9.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Etapa 3.2.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.9.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Etapa 3.2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1}$

Etapa 3.2.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3}$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- x - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{x^{3}}$ para o numerador.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- x - 2 = 0 x^{3}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{3}$ .

$- x - 2 = 0$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- x = 2$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $- x = 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $- x = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Divida $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 2$ .

$- 2$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3

Defina o denominador em $\frac{2}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 5.4

Resolva $x$ .

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Etapa 5.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.4.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = - \frac{1}{{(- 3)}^{2}} - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} - \frac{2}{- 27}$

Etapa 7.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + \frac{2}{27}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- - \frac{2}{27}$ .

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Etapa 7.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + 1 (\frac{2}{27})$

Etapa 7.2.1.4.2

Multiplique $\frac{2}{27}$ por $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + \frac{2}{27}$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- \frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{27}$

Etapa 7.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{27}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{27} + \frac{2}{27}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 3) = \frac{- 3 + 2}{27}$

Etapa 7.2.5

Some $- 3$ e $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1}{27}$

Etapa 7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 3) = - \frac{1}{27}$

Etapa 7.2.7

A resposta final é $- \frac{1}{27}$ .

$- \frac{1}{27}$

Etapa 7.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $- \frac{1}{27}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - \frac{2}{- 1}$

Etapa 8.2.1.5

Divida $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 2$

Etapa 8.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 1) = - 1 + 2$

Etapa 8.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$f' (- 1) = 1$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 8.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $1$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 2, 0)$ .

Acréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (1) = - 1 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 1 - \frac{2}{1}$

Etapa 9.2.1.5

Divida $2$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 - 1 \cdot 2$

Etapa 9.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (1) = - 1 - 2$

Etapa 9.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f' (1) = - 3$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 9.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 2, 0)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Etapa 11