Cálculo Exemplos

$P = \frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}})$

Etapa 2

A derivada de $P$ em relação a $t$ é $P'$ .

$P'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Combine frações.

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Etapa 3.1.1

Combine $t$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}]$

Etapa 3.1.2

Reescreva $\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}$ como ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Etapa 3.3.4

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 e^{- \frac{t}{10}}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}])$

Etapa 3.3.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - \frac{t}{10}$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $- \frac{1}{10}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{t}{10}$ em relação a $t$ é $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 3.5.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.5.2.1

Combine $e^{- \frac{t}{10}}$ e $\frac{1}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (- \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.5.2.3

Combine $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10}$ e $5$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2.4

Combine $\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10}$ e ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.2.5.1

Mova $5$ para a esquerda de $e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 \cdot e^{- \frac{t}{10}} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2.5.2

Mova ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2.6

Cancele o fator comum de $5$ e $10$ .

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Etapa 3.5.2.6.1

Fatore $5$ de $5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.6.2.1

Fatore $5$ de $10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}$ .

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \cdot 1$

Etapa 3.5.4

Multiplique $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$P' = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $P'$ por $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$