Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = e^{- x} + 1$ e $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 3.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- x} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.6

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.7

Some $e^{- x} (- x')$ e $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.8

Multiplique $e^{x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.8.1

Mova $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.8.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.9

Simplifique $e^{0} (- x')$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Etapa 3.10.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Etapa 3.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Etapa 3.11

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12

Simplifique.

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Etapa 3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.12.3.1.1

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.12.3.1.1.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.3.1.1.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.3.1.2

Simplifique $- e^{0} x'$ .

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.3.1.3

Reescreva $- 1 x'$ como $- x'$ .

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.3.1.5

Reescreva $- 1 (e^{x} x')$ como $- (e^{x} x')$ .

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.3.2

Subtraia $x'$ de $- x'$ .

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.4

Reordene os termos.

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.5

Fatore $x'$ de $- e^{x} x' - 2 x'$ .

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Etapa 3.12.5.1

Fatore $x'$ de $- e^{x} x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.5.2

Fatore $x'$ de $- 2 x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.5.3

Fatore $x'$ de $x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ .

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.6

Fatore $- 1$ de $- e^{x}$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.7

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.8

Fatore $- 1$ de $- (e^{x}) - 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.9

Reescreva $- (e^{x} + 2)$ como $- 1 (e^{x} + 2)$ .

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

Etapa 3.12.11

Reordene os fatores em $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.2.1

Divida $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ por $1$ .

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reordene os fatores em $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por $e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ .

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Etapa 5.4.1.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 5.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Etapa 5.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Etapa 5.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Etapa 5.4.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x'$ .

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

Etapa 5.5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $x'$ de $x' e^{x} + 2 x'$ .

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Etapa 5.5.1.1

Fatore $x'$ de $x' e^{x}$ .

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

Etapa 5.5.1.2

Fatore $x'$ de $2 x'$ .

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Etapa 5.5.1.3

Fatore $x'$ de $x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ .

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ por $e^{x} + 2$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ por $e^{x} + 2$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x} + 2$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$