Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $x e^{x}$ de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.5.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{x} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 2$ .

$0, - 2$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{2} e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = 9 e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = 9 (\frac{1}{e^{3}}) + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Etapa 5.2.1.3

Combine $9$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot e^{- 3}$

Etapa 5.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Etapa 5.2.1.6

Combine $- 6$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + \frac{- 6}{e^{3}}$

Etapa 5.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}$

Etapa 5.2.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 3) = \frac{9 - 6}{e^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $6$ de $9$ .

$f' (- 3) = \frac{3}{e^{3}}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{3}{e^{3}}$ .

$\frac{3}{e^{3}}$

Etapa 5.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $\frac{3}{e^{3}}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = 1 e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $e^{- 1}$ por $1$ .

$f' (- 1) = e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Etapa 6.2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot e^{- 1}$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 6.2.1.6

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Etapa 6.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 1) = \frac{1 - 2}{e}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{e}$

Etapa 6.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{1}{e}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e}$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{1}{e}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, 0)$ .

Decréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = {(1)}^{2} e^{1} + 2 (1) \cdot e^{1}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 1 e + 2 (1) \cdot e$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $e^{1}$ por $1$ .

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Etapa 7.2.1.3

Simplifique.

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = e + 2 e$

Etapa 7.2.2

Some $e$ e $2 e$ .

$f' (1) = 3 e$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $3 e$ .

$3 e$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $3 e$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- 2, 0)$

Etapa 9