Cálculo Exemplos

$f (x) = x \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 + \ln (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\ln (x) = - 1$

Etapa 2.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Etapa 2.4

Reescreva $\ln (x) = - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Etapa 2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 4.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

Etapa 6

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, \frac{1}{e})$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{1}{e})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.18393972$ na expressão.

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

Etapa 7.2

A resposta final é $1 + \ln (0.18393972)$ .

$1 + \ln (0.18393972)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$- 0.69314715$

Etapa 7.4

Em $x = 0.18393972$ , a derivada é $- 0.69314715$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \frac{1}{e})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{1}{e})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(\frac{1}{e}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.36787945$ na expressão.

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

Etapa 9.2

A resposta final é $1 + \ln (1.36787945)$ .

$1 + \ln (1.36787945)$

Etapa 9.3

Simplifique.

$1.31326169$

Etapa 9.4

Em $x = 1.36787945$ , a derivada é $1.31326169$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{1}{e}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{1}{e}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{1}{e}, \infty)$

Decréscimo em: $(0, \frac{1}{e})$

Etapa 11