Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.9.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1.1

Expanda $(x + 1) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 0 - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.3

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.8

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

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Etapa 2.4.2.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.2.2

Fatore $x + 1$ de $- 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.2.3

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.2.1.1

Expanda $(x + 1) (2 x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.10.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.10.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.2.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.2.1.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.2.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 4$ .

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Etapa 2.10.2.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x + 2 + 0 - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.2.2

Some $4 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x + 2 - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.2.3

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.2.4

Some $0$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.10.2.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$