Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1 d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Etapa 4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\arctan (x) + C - \int e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Etapa 7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Etapa 8

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + \int d x$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + x + C$

Etapa 11

Simplifique.

$\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$ .

$F (x) =$ $\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$