Cálculo Exemplos

$f (x) = x \ln (x)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.2.3

Some $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = x \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 2.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5