Cálculo Exemplos

$3 x^{5} - 20 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $3 x^{5} - 20 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} - 60 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 (2 x)$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 60$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $60 x^{3} - 120 x$ .

$60 x^{3} - 120 x$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $60 x^{3} - 120 x = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$60 x^{3} - 120 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $60 x$ de $60 x^{3} - 120 x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $60 x$ de $60 x^{3}$ .

$60 x (x^{2}) - 120 x = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore $60 x$ de $- 120 x$ .

$60 x (x^{2}) + 60 x (- 2) = 0$

Etapa 2.2.2.3

Fatore $60 x$ de $60 x (x^{2}) + 60 x (- 2)$ .

$60 x (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.5

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.5.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 2.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 2.2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 2.2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 2.2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $60 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \sqrt{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 60 {(- 4)}^{3} - 120 \cdot - 4$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = 60 \cdot - 64 - 120 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 3840 - 120 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 120$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 3840 + 480$

Etapa 5.2.2

Some $- 3840$ e $480$ .

$f'' (- 4) = - 3360$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 3360$ .

$- 3360$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \sqrt{2})$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \sqrt{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- \sqrt{2}, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{3} - 120 \cdot - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot - 1 - 120 \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 60 - 120 \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 120$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 60 + 120$

Etapa 6.2.2

Some $- 60$ e $120$ .

$f'' (- 1) = 60$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $60$ .

$60$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \sqrt{2}, 0)$ porque $f'' (- 1)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \sqrt{2}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \sqrt{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = 60 {(1)}^{3} - 120 \cdot 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 60 \cdot 1 - 120 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $60$ por $1$ .

$f'' (1) = 60 - 120 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 120$ por $1$ .

$f'' (1) = 60 - 120$

Etapa 7.2.2

Subtraia $120$ de $60$ .

$f'' (1) = - 60$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 60$ .

$- 60$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \sqrt{2})$ porque $f'' (1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \sqrt{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

Substitua qualquer número do intervalo $(\sqrt{2}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 60 {(4)}^{3} - 120 \cdot 4$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = 60 \cdot 64 - 120 \cdot 4$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $60$ por $64$ .

$f'' (4) = 3840 - 120 \cdot 4$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 120$ por $4$ .

$f'' (4) = 3840 - 480$

Etapa 8.2.2

Subtraia $480$ de $3840$ .

$f'' (4) = 3360$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $3360$ .

$3360$

Etapa 8.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\sqrt{2}, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\sqrt{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \sqrt{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \sqrt{2}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, \sqrt{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\sqrt{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 10