Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{12}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{12} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{4}{12}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (15)$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $\frac{x^{3}}{3} - 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.2.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.2.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.2.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 4$ .

$x^{2} - 4$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2$ em $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{1}{12} \cdot {(2)}^{4} - 2 {(2)}^{2} + 15$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = \frac{1}{12} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Etapa 3.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f (2) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Fatore $4$ de $16$ .

$f (2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2} + 15$

Etapa 3.1.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2} + 15$

Etapa 3.1.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Etapa 3.1.2.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $4$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 2 {(2)}^{2} + 15$

Etapa 3.1.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 2 \cdot 4 + 15$

Etapa 3.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 8 + 15$

Etapa 3.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Escreva $- 8$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} + 15$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Etapa 3.1.2.2.3

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 15$

Etapa 3.1.2.2.4

Escreva $15$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Etapa 3.1.2.2.5

Multiplique $\frac{15}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.1.2.2.6

Multiplique $\frac{15}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{4 - 8 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (2) = \frac{4 - 24 + 15 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.1.2.4.2

Multiplique $15$ por $3$ .

$f (2) = \frac{4 - 24 + 45}{3}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Subtraia $24$ de $4$ .

$f (2) = \frac{- 20 + 45}{3}$

Etapa 3.1.2.5.2

Some $- 20$ e $45$ .

$f (2) = \frac{25}{3}$

Etapa 3.1.2.6

A resposta final é $\frac{25}{3}$ .

$\frac{25}{3}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ é $(2, \frac{25}{3})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, \frac{25}{3})$

Etapa 3.3

Substitua $- 2$ em $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{1}{12} \cdot {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{12} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f (- 2) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Fatore $4$ de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Etapa 3.3.2.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $4$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + (- 2) {(- 2)}^{2} + 15$

Etapa 3.3.2.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2) = \frac{4}{3} + {(- 2)}^{1 + 2} + 15$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + {(- 2)}^{3} + 15$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 8 + 15$

Etapa 3.3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Escreva $- 8$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} + 15$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Etapa 3.3.2.2.3

Multiplique $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 15$

Etapa 3.3.2.2.4

Escreva $15$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Etapa 3.3.2.2.5

Multiplique $\frac{15}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.2.2.6

Multiplique $\frac{15}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{4 - 8 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 24 + 15 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.3.2.4.2

Multiplique $15$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 24 + 45}{3}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Subtraia $24$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 20 + 45}{3}$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $- 20$ e $45$ .

$f (- 2) = \frac{25}{3}$

Etapa 3.3.2.6

A resposta final é $\frac{25}{3}$ .

$\frac{25}{3}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ é $(- 2, \frac{25}{3})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, \frac{25}{3})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(2, \frac{25}{3}), (- 2, \frac{25}{3})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = {(- 2.1)}^{2} - 4$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 4.41 - 4$

Etapa 5.2.2

Subtraia $4$ de $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 0.41$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.41$ .

$0.41$

Etapa 5.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $0.41$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 4$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Etapa 6.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 4$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2, 2)$ .

Decréscimo em $(- 2, 2)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.1$ na expressão.

$f'' (2.1) = {(2.1)}^{2} - 4$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Eleve $2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (2.1) = 4.41 - 4$

Etapa 7.2.2

Subtraia $4$ de $4.41$ .

$f'' (2.1) = 0.41$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.41$ .

$0.41$

Etapa 7.3

Em $2.1$ , a segunda derivada é $0.41$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, \frac{25}{3}), (2, \frac{25}{3})$ .

$(- 2, \frac{25}{3}), (2, \frac{25}{3})$

Etapa 9