Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 {(x - 1)}^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{3})$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 1.2.3

Diferencie.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)$

Etapa 1.2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} \cdot 1$

Etapa 1.2.3.5.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 {(x - 1)}^{2}$ .

$12 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 {(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $12$ .

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $12$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ em $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {((1) - 1)}^{4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = 0^{4}$

Etapa 3.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ é $(1, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, 0)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.9$ na expressão.

$f'' (0.9) = 12 {((0.9) - 1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ de $0.9$ .

$f'' (0.9) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Etapa 5.2.2

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.9) = 12 \cdot 0.01$

Etapa 5.2.3

Multiplique $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.9) = 0.12$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $0.12$ .

$0.12$

Etapa 5.3

Em $0.9$ , a segunda derivada é $0.12$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = 12 {((1.1) - 1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ de $1.1$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot {0.1}^{2}$

Etapa 6.2.2

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 0.01$

Etapa 6.2.3

Multiplique $12$ por $0.01$ .

$f'' (1.1) = 0.12$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $0.12$ .

$0.12$

Etapa 6.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $0.12$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. No gráfico, não há pontos que satisfaçam esses requisitos.

Nenhum ponto de inflexão