Cálculo Exemplos

$y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Como $\frac{3}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.8

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.9

Mova ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.10

Multiplique $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{3}{5}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 2.1.11

Multiplique.

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Etapa 2.1.11.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 2.1.11.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 2.1.12

Fatore $3$ de $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 2.1.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.13.1

Fatore $3$ de $15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 2.1.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 2.1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 2.1.16

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 2.1.17

Combine frações.

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Etapa 2.1.17.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Etapa 2.1.17.2

Combine $2$ e $\frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Etapa 2.1.17.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Etapa 2.1.17.4

Combine $\frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{4}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.9

Combine frações.

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Etapa 2.2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.9.3

Mova ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.9.4

Combine $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13

Combine frações.

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Etapa 2.2.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13.4

Combine $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.17

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.19

Para escrever ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.20

Combine ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.22.1

Mova ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22.4

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.23

Simplifique ${(x^{2} - 1)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.24

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.25

Reescreva $\frac{\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.26

Multiplique $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.27

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.27.1

Mova ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 2.2.27.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.27.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 2.2.27.4

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.28

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{5 (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 2.2.29

Multiplique $3$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 1 - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.3.1.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3.1.2

Multiplique $4 (3 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.3.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 3 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 - 8 x^{2}}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3.2

Subtraia $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.4.2

Fatore $4$ de $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.4.3

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $4 (x^{2} - 3) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida cada termo em $4 (x^{2} - 3) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.1.2.1.2

Divida $x^{2} - 3$ por $1$ .

$x^{2} - 3 = \frac{0}{4}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{3}$ na expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(\sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine $\frac{3}{5}$ e $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ é $(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Etapa 4.3

Substitua $- \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- \sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(1 {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Combine $\frac{3}{5}$ e $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ é $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.8320508$ na expressão.

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $3$ de $3.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $1$ de $3.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $2.35641016$ à potência de $\frac{4}{3}$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $4$ por $0.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $15$ por $3.13570007$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

Etapa 6.2.3.3

Divida $1.42564064$ por $47.03550106$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.03030988$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $0.03030988$ .

$0.03030988$

Etapa 6.3

Em $- 1.8320508$ , a segunda derivada é $0.03030988$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} - 3)}{15 {({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 (0 - 3)}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 7.2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 7.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{4}}$

Etapa 7.2.2.6

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f'' (0) = \frac{- 12}{15 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $15$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{- 12}{15}$

Etapa 7.2.3.3

Cancele o fator comum de $- 12$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.3.1

Fatore $3$ de $- 12$ .

$f'' (0) = \frac{3 (- 4)}{15}$

Etapa 7.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.3.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

Etapa 7.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

Etapa 7.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{- 4}{5}$

Etapa 7.2.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{4}{5}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- \frac{4}{5}$ .

$- \frac{4}{5}$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 0.8$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.8320508$ na expressão.

$f'' (1.8320508) = \frac{4 ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $1.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.1.2

Subtraia $3$ de $3.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $1.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $1$ de $3.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $2.35641016$ à potência de $\frac{4}{3}$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $4$ por $0.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $15$ por $3.13570007$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

Etapa 8.2.3.3

Divida $1.42564064$ por $47.03550106$ .

$f'' (1.8320508) = 0.03030988$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $0.03030988$ .

$0.03030988$

Etapa 8.3

Em $1.8320508$ , a segunda derivada é $0.03030988$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ .

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Etapa 10