Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{16 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{16 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.4

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.5

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.7

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.9.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.10.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\frac{16 e^{0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{16 \cdot 1 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.1.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.1.5

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.1.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.1.7

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Etapa 1.2.10.1.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{16 - 16 + 0 + 0 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.1.7.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16 - 16 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.2.10.4

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Etapa 1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 e^{\frac{x}{4}}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.6

Combine $e^{\frac{x}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.7

Combine $16$ e $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{16 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.8

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

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Etapa 3.3.8.1

Fatore $4$ de $16 e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.8.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3.8.2.4

Divida $4 e^{\frac{x}{4}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Etapa 3.6.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 3.6.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.6.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.6.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- x}{1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Some $4 e^{\frac{x}{4}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{3 x^{2}}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.7.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.7.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.7.2

Some $0$ e $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.2.7.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}]$ .

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Etapa 5.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{\frac{x}{4}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Etapa 5.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.6

Combine $e^{\frac{x}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.7

Combine $4$ e $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.8

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.4.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.4.8.2

Divida $e^{\frac{x}{4}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.6

Some $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ e $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{2 x}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x}$

Etapa 7

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 7.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 1 + e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 7.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.2.1.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.2.1.4

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.3.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.2.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 7.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.4.2

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.4.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.4.5

Combine $e^{\frac{x}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.5

Some $0$ e $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{1}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}$

Etapa 8.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}$

Etapa 8.3

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}$

Etapa 9

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{1}{24} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Etapa 10.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\frac{1}{24} e^{0}$

Etapa 10.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{24} \cdot 1$

Etapa 10.5

Multiplique $\frac{1}{24}$ por $1$ .

$\frac{1}{24}$