Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} - 10 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{4})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{4})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 10 \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 10 (4 x^{3})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 10$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 40 x^{3}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{5} - 40 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $5$ por $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 40 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 40 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 40 (3 x^{2})$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $3$ por $- 40$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 x^{2}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $30 x^{4} - 120 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 120 x^{2}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $30 x^{4} - 120 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$30 x^{4} - 120 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$30 {(x^{2})}^{2} - 120 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$30 u^{2} - 120 u = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $30 u$ de $30 u^{2} - 120 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore $30 u$ de $30 u^{2}$ .

$30 u (u) - 120 u = 0$

Etapa 2.2.3.2

Fatore $30 u$ de $- 120 u$ .

$30 u (u) + 30 u (- 4) = 0$

Etapa 2.2.3.3

Fatore $30 u$ de $30 u (u) + 30 u (- 4)$ .

$30 u (u - 4) = 0$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.5.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $30 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2, - 2$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{6} - 10 {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{4}$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $2$ em $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{6} - 10 {(2)}^{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$f (2) = 64 - 10 {(2)}^{4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = 64 - 10 \cdot 16$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $- 10$ por $16$ .

$f (2) = 64 - 160$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $160$ de $64$ .

$f (2) = - 96$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 96$ .

$- 96$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ é $(2, - 96)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, - 96)$

Etapa 3.5

Substitua $- 2$ em $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(- 2)}^{6} - 10 {(- 2)}^{4}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$f (- 2) = 64 - 10 {(- 2)}^{4}$

Etapa 3.5.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = 64 - 10 \cdot 16$

Etapa 3.5.2.1.3

Multiplique $- 10$ por $16$ .

$f (- 2) = 64 - 160$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $160$ de $64$ .

$f (- 2) = - 96$

Etapa 3.5.2.3

A resposta final é $- 96$ .

$- 96$

Etapa 3.6

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ é $(- 2, - 96)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, - 96)$

Etapa 3.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (2, - 96), (- 2, - 96)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = 30 {(- 2.1)}^{4} - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 2.1) = 30 \cdot 19.4481 - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $30$ por $19.4481$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 120 \cdot 4.41$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 529.2$

Etapa 5.2.2

Subtraia $529.2$ de $583.443$ .

$f'' (- 2.1) = 54.243$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $54.243$ .

$54.243$

Etapa 5.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $54.243$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = 30 {(- 1)}^{4} - 120 {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 1) = 30 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $30$ por $1$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120 {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $1$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120$

Etapa 6.2.2

Subtraia $120$ de $30$ .

$f'' (- 1) = - 90$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 90$ .

$- 90$

Etapa 6.3

Em $- 1$ , a segunda derivada é $- 90$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2, 0)$ .

Decréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = 30 {(1)}^{4} - 120 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 30 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $30$ por $1$ .

$f'' (1) = 30 - 120 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 30 - 120 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $1$ .

$f'' (1) = 30 - 120$

Etapa 7.2.2

Subtraia $120$ de $30$ .

$f'' (1) = - 90$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 90$ .

$- 90$

Etapa 7.3

Em $1$ , a segunda derivada é $- 90$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 2)$ .

Decréscimo em $(0, 2)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2.1$ na expressão.

$f'' (2.1) = 30 {(2.1)}^{4} - 120 {(2.1)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2.1$ à potência de $4$ .

$f'' (2.1) = 30 \cdot 19.4481 - 120 {(2.1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $30$ por $19.4481$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 120 {(2.1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 120 \cdot 4.41$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 529.2$

Etapa 8.2.2

Subtraia $529.2$ de $583.443$ .

$f'' (2.1) = 54.243$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $54.243$ .

$54.243$

Etapa 8.3

Em $2.1$ , a segunda derivada é $54.243$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 96), (2, - 96)$ .

$(- 2, - 96), (2, - 96)$

Etapa 10