Cálculo Exemplos

$y = \frac{3}{x}$ , $y = 12 x$ , $y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{3}{x} = 12 x$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{3}{x} = 12 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1 + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.2

Multiplique cada termo em $\frac{3}{x} = 12 x$ por $x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{3}{x} = 12 x$ por $x$ .

$\frac{3}{x} \cdot x = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{x} \cdot x = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1.1

Mova $x$ .

$3 = 12 (x \cdot x) + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva a equação como $12 x^{2} = 3$ .

$12 x^{2} = 3 + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $12 x^{2} = 3$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 3$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $3$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x^{2} = \frac{3 (1)}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.4.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$y = 12 (\frac{1}{2}) y = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$y = 2 (6) \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = 2 \cdot 6 \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = 6$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ em $y = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{3 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \frac{1}{6}$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

$y = 12 (- \frac{1}{2}) y = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

Etapa 1.5.2

Simplifique $12 (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y = 12 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 1.5.2.1.2

Fatore $2$ de $12$ .

$y = 2 (6) \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.5.2.1.3

Cancele o fator comum.

$y = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.5.2.1.4

Reescreva a expressão.

$y = 6 \cdot - 1$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$y = - 6$

Etapa 1.6

Substitua $- \frac{1}{2}$ por $x$ em $y = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{3} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Etapa 1.6.2

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (- (\frac{1}{2}))$

Etapa 1.6.2.2

Multiplique $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Etapa 1.6.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Etapa 1.7

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x d x - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- \frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x - (\frac{3}{x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $\frac{3}{x}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x - \frac{3}{x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Etapa 3.4

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x} d x$

Etapa 3.8

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - (3 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 3 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.10

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 3 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.11

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $\frac{1}{2}$ e em $- \frac{1}{2}$ .

$12 ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.11.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $\frac{1}{2}$ e em $- \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.3.1

Fatore $- 1$ de $- \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{1}{2}))}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.2

Aplique a regra do produto a $- (\frac{1}{2})$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.4

Multiplique ${(\frac{1}{2})}^{2}$ por $1$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.3.6.1

Divida $1$ por $2$ .

$12 \frac{{0.5}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.6.2

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$12 \frac{0.25 - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.6.3

Divida $1$ por $2$ .

$12 \frac{0.25 - {0.5}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.6.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$12 \frac{0.25 - 1 \cdot 0.25}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.6.5

Multiplique $- 1$ por $0.25$ .

$12 \frac{0.25 - 0.25}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.6.6

Subtraia $0.25$ de $0.25$ .

$12 (\frac{0}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.7

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.3.7.1

Fatore $2$ de $0$ .

$12 \frac{2 \cdot 0}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$12 \frac{2 \cdot 0}{2 (1)} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$12 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$12 (\frac{0}{1}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.7.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$12 \cdot 0 - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.8

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.1.3.9

Subtraia $3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$ de $0$ .

$- 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Etapa 3.11.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 3 \ln (\frac{| \frac{1}{2} |}{| - \frac{1}{2} |})$

Etapa 3.11.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{| - \frac{1}{2} |})$

Etapa 3.11.3.2

$- \frac{1}{2}$ é aproximadamente $- 0.5$ , que é negativo, então negative $- \frac{1}{2}$ e remova o valor absoluto

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.11.3.3

Cancele o fator comum de $\frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.3.1

Cancele o fator comum.

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.11.3.3.2

Reescreva a expressão.

$- 3 \ln (1)$

Etapa 3.11.3.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 3 \cdot 0$

Etapa 3.11.3.5

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$0$

Etapa 4