Cálculo Exemplos

$10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 + (0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

$\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Etapa 1.2

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

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Etapa 2.1

Como $0.8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $(0.8 t) \sin (\frac{t^{3}}{100})$ em relação a $t$ é $0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$ .

$0 + 0.8 \frac{d}{d t} [(t) \sin (\frac{t^{3}}{100})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = \sin (\frac{t^{3}}{100})$ .

$0 + 0.8 (t \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{100})] + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{t^{3}}{100}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t^{3}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t^{3}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{100}]) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.4

Como $\frac{1}{100}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{t^{3}}{100}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} \frac{d}{d t} [t^{3}])) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{1}{100} (3 t^{2}))) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.7

Combine $3$ e $\frac{1}{100}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (\frac{3}{100} t^{2})) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.8

Combine $\frac{3}{100}$ e $t^{2}$ .

$0 + 0.8 (t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \frac{3 t^{2}}{100}) + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.9

Combine $\cos (\frac{t^{3}}{100})$ e $\frac{3 t^{2}}{100}$ .

$0 + 0.8 (t \frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.10

Combine $t$ e $\frac{\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2})}{100}$ .

$0 + 0.8 (\frac{t (\cos (\frac{t^{3}}{100}) (3 t^{2}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.11

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{2} t^{1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 + 0.8 (\frac{t^{2 + 1} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.13

Some $2$ e $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100}) \cdot (3))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.14

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (\frac{t^{3}}{100})$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cdot \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}) \cdot 1)$

Etapa 2.15

Multiplique $\sin (\frac{t^{3}}{100})$ por $1$ .

$0 + 0.8 (\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + \sin (\frac{t^{3}}{100}))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 + 0.8 \frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $0.8$ e $\frac{t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100}$ .

$0 + \frac{0.8 (t^{3} (3 \cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 3.2.2

Multiplique $3$ por $0.8$ .

$0 + \frac{2.4 (t^{3} (\cos (\frac{t^{3}}{100})))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$ .

$\frac{2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Fatore $2.4$ de $2.4 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ .

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 3.3.2

Fatore $100$ de $100$ .

$\frac{2.4 (t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}))}{100 (1)} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 3.3.3

Separe as frações.

$\frac{2.4}{100} \cdot \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 3.3.4

Divida $2.4$ por $100$ .

$0.024 \frac{t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})}{1} + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$

Etapa 3.3.5

Divida $t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100})$ por $1$ .

$0.024 t^{3} \cos (\frac{t^{3}}{100}) + 0.8 \sin (\frac{t^{3}}{100})$