Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{- 2.5 x^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2.5 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2.5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2.5 x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 2.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2.5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- 2.5 x^{2}} (- 2.5 \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- 2.5 x^{2}} (- 2.5 (2 x))$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2.5$ .

$f' (x) = e^{- 2.5 x^{2}} (- 5 x)$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Reordene os fatores de $e^{- 2.5 x^{2}} (- 5 x)$ .

$f' (x) = - 5 e^{- 2.5 x^{2}} x$

Etapa 1.1.1.3.2

Reordene os fatores em $- 5 e^{- 2.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 5 x e^{- 2.5 x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x e^{- 2.5 x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x e^{- 2.5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} (x e^{- 2.5 x^{2}})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 5 (x \frac{d}{d x} (e^{- 2.5 x^{2}}) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2.5 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Como $- 2.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2.5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{- 2.5 x^{2}} (- 2.5 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{- 2.5 x^{2}} (- 2.5 (2 x))) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $2$ por $- 2.5$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{- 2.5 x^{2}} (- 5 x)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x \cdot x (e^{- 2.5 x^{2}} \cdot (- 5)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x \cdot x (e^{- 2.5 x^{2}} \cdot (- 5)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 5 (x^{1 + 1} (e^{- 2.5 x^{2}} \cdot (- 5)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (e^{- 2.5 x^{2}} \cdot (- 5)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.8.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (- 5 \cdot e^{- 2.5 x^{2}}) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (- 5 e^{- 2.5 x^{2}}) + e^{- 2.5 x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $e^{- 2.5 x^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (- 5 e^{- 2.5 x^{2}}) + e^{- 2.5 x^{2}})$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (- 5 e^{- 2.5 x^{2}})) - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.11.2

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$f'' (x) = 25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.11.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 25 e^{- 2.5 x^{2}} x^{2} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Etapa 1.1.2.11.4

Reordene os fatores em $25 e^{- 2.5 x^{2}} x^{2} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $5 e^{- 2.5 x^{2}}$ de $25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $5 e^{- 2.5 x^{2}}$ de $25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} (5 x^{2}) - 5 e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $5 e^{- 2.5 x^{2}}$ de $- 5 e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} (5 x^{2}) + 5 e^{- 2.5 x^{2}} (- 1) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $5 e^{- 2.5 x^{2}}$ de $5 e^{- 2.5 x^{2}} (5 x^{2}) + 5 e^{- 2.5 x^{2}} (- 1)$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} (5 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $5 x^{2}$ como ${(2.23606797 x)}^{2}$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} ({(2.23606797 x)}^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} ({(2.23606797 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2.23606797 x$ e $b = 1$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} ((2.23606797 x + 1) (2.23606797 x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$5 e^{- 2.5 x^{2}} (2.23606797 x + 1) (2.23606797 x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

$2.23606797 x + 1 = 0$

$2.23606797 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $e^{- 2.5 x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $e^{- 2.5 x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $e^{- 2.5 x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 2.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 1.2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 1.2.5

Defina $2.23606797 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $2.23606797 x + 1$ como igual a $0$ .

$2.23606797 x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $2.23606797 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2.23606797 x = - 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $2.23606797 x = - 1$ por $2.23606797$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2.23606797 x = - 1$ por $2.23606797$ .

$\frac{2.23606797 x}{2.23606797} = \frac{- 1}{2.23606797}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2.23606797$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2.23606797 x}{2.23606797} = \frac{- 1}{2.23606797}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2.23606797}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $2.23606797$ .

$x = - 0.44721359$

Etapa 1.2.6

Defina $2.23606797 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $2.23606797 x - 1$ como igual a $0$ .

$2.23606797 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $2.23606797 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2.23606797 x = 1$

Etapa 1.2.6.2.2

Divida cada termo em $2.23606797 x = 1$ por $2.23606797$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.1

Divida cada termo em $2.23606797 x = 1$ por $2.23606797$ .

$\frac{2.23606797 x}{2.23606797} = \frac{1}{2.23606797}$

Etapa 1.2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2.23606797$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2.23606797 x}{2.23606797} = \frac{1}{2.23606797}$

Etapa 1.2.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2.23606797}$

Etapa 1.2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.3.1

Divida $1$ por $2.23606797$ .

$x = 0.44721359$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $5 e^{- 2.5 x^{2}} (2.23606797 x + 1) (2.23606797 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 0.44721359, 0.44721359$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 0.44721359) \cup (- 0.44721359, 0.44721359) \cup (0.44721359, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 0.44721359)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = 25 {(- 3)}^{2} e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = 25 \cdot (9 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}) - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $25$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 225 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = 225 e^{- 2.5 \cdot 9} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 2.5$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 225 e^{- 22.5} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = 225 (\frac{1}{e^{22.5}}) - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.6

Combine $225$ e $\frac{1}{e^{22.5}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{225}{e^{22.5}} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 3) = \frac{225}{{2.71828182}^{22.5}} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $22.5$ .

$f'' (- 3) = \frac{225}{5910522063.02304} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.9

Divida $225$ por $5910522063.02304$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.10

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 5 e^{- 2.5 \cdot 9}$

Etapa 4.2.1.11

Multiplique $- 2.5$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 5 e^{- 22.5}$

Etapa 4.2.1.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 5 \frac{1}{e^{22.5}}$

Etapa 4.2.1.13

Combine $- 5$ e $\frac{1}{e^{22.5}}$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 + \frac{- 5}{e^{22.5}}$

Etapa 4.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 3) = 0.00000003 - \frac{5}{e^{22.5}}$

Etapa 4.2.1.15

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 3) = 0.00000003 - \frac{5}{{2.71828182}^{22.5}}$

Etapa 4.2.1.16

Eleve $2.71828182$ à potência de $22.5$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - \frac{5}{5910522063.02304}$

Etapa 4.2.1.17

Divida $5$ por $5910522063.02304$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 1 \cdot 0$

Etapa 4.2.1.18

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $0$ de $0.00000003$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $0.00000003$ .

$0.00000003$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 0.44721359)$ porque $f'' (- 3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 0.44721359)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 0.44721359, 0.44721359)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 25 {(0)}^{2} e^{- 2.5 {(0)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 25 \cdot (0 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}) - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $25$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2.5 {(0)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2.5 \cdot 0} - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 2.5$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 - 5 e^{- 2.5 \cdot 0}$

Etapa 5.2.1.8

Multiplique $- 2.5$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 5 e^{0}$

Etapa 5.2.1.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 - 5 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.10

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 5$

Etapa 5.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$f'' (0) = - 5$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 0.44721359, 0.44721359)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 0.44721359, 0.44721359)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0.44721359, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 25 {(3)}^{2} e^{- 2.5 {(3)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 25 \cdot (9 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}) - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $25$ por $9$ .

$f'' (3) = 225 e^{- 2.5 {(3)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 225 e^{- 2.5 \cdot 9} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 2.5$ por $9$ .

$f'' (3) = 225 e^{- 22.5} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 225 (\frac{1}{e^{22.5}}) - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.6

Combine $225$ e $\frac{1}{e^{22.5}}$ .

$f'' (3) = \frac{225}{e^{22.5}} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (3) = \frac{225}{{2.71828182}^{22.5}} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $22.5$ .

$f'' (3) = \frac{225}{5910522063.02304} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.9

Divida $225$ por $5910522063.02304$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 5 e^{- 2.5 \cdot 9}$

Etapa 6.2.1.11

Multiplique $- 2.5$ por $9$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 5 e^{- 22.5}$

Etapa 6.2.1.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 5 \frac{1}{e^{22.5}}$

Etapa 6.2.1.13

Combine $- 5$ e $\frac{1}{e^{22.5}}$ .

$f'' (3) = 0.00000003 + \frac{- 5}{e^{22.5}}$

Etapa 6.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (3) = 0.00000003 - \frac{5}{e^{22.5}}$

Etapa 6.2.1.15

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (3) = 0.00000003 - \frac{5}{{2.71828182}^{22.5}}$

Etapa 6.2.1.16

Eleve $2.71828182$ à potência de $22.5$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - \frac{5}{5910522063.02304}$

Etapa 6.2.1.17

Divida $5$ por $5910522063.02304$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 1 \cdot 0$

Etapa 6.2.1.18

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (3) = 0.00000003 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia $0$ de $0.00000003$ .

$f'' (3) = 0.00000003$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.00000003$ .

$0.00000003$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0.44721359, \infty)$ porque $f'' (3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0.44721359, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 0.44721359)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 0.44721359, 0.44721359)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0.44721359, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8