Cálculo Exemplos

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.8

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.10.5

Avalie o expoente.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.11

Multiplique $3 (- 1 \cdot 3)$ .

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Etapa 2.1.11.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.11.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Etapa 2.1.12

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.12.1

Aplique a regra do produto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Etapa 2.1.12.2

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Etapa 2.1.13

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Etapa 2.1.14

Fatore $i^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Etapa 2.1.15

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Etapa 2.1.16

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

Etapa 2.1.17

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

Etapa 2.1.18

Multiplique $i$ por $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

Etapa 2.1.19

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

Etapa 2.1.20

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

Etapa 2.1.21

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.1.21.1

Fatore $9$ de $27$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

Etapa 2.1.21.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Etapa 2.1.22

Elimine os termos abaixo do radical.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

Etapa 2.1.23

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $9$ de $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

Etapa 2.2.2

Some $- 3 i \sqrt{3}$ e $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

Etapa 2.2.3

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 8$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 8$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

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Etapa 6.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 64}$

Etapa 6.3

Some $0$ e $64$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Etapa 6.4

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 8$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 8})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{0}{- 8}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $π$ .

$θ = π$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = π$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (π) + i \sin (π))$