Cálculo Exemplos

$\sqrt[3]{2} (\cos (120 °) + i \sin (120 °))$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt[3]{2} (- \cos (60) + i \sin (120 °))$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (60)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \sin (120 °))$

Etapa 1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \sin (60))$

Etapa 1.4

O valor exato de $\sin (60)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 1.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2}) + \sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.2

Combine $\sqrt[3]{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Multiplique $\sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 3.1

Combine $\sqrt[3]{2}$ e $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão usando o menor índice comum de $6$ .

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Etapa 3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Etapa 3.2.2

Reescreva $3^{\frac{1}{2}}$ como $3^{\frac{3}{6}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{3^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Etapa 3.2.3

Reescreva $3^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Etapa 3.2.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} i}{2}$

Etapa 3.2.5

Reescreva $2^{\frac{1}{3}}$ como $2^{\frac{2}{6}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}} i}{2}$

Etapa 3.2.6

Reescreva $2^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{2^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \sqrt[6]{2^{2}} i}{2}$

Etapa 3.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3} \cdot 2^{2}} i}{2}$

Etapa 3.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{27 \cdot 2^{2}} i}{2}$

Etapa 3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{27 \cdot 4} i}{2}$

Etapa 3.6

Multiplique $27$ por $4$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{108} i}{2}$