Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Etapa 1

Escreva $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$ como uma função.

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4

Como $4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.6

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5 + 0$

Etapa 2.7

Combine os termos.

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Etapa 2.7.1

Some $4 x + 3 y$ e $0$ .

$4 x + 3 y - 5 + 0$

Etapa 2.7.2

Some $4 x + 3 y - 5$ e $0$ .

$4 x + 3 y - 5$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3 y - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 3.3.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + 0$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x + 3 y - 5 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (3 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.4

Como $4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 5.1.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.5.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 - 5 + \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 5.1.6

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 - 5 + 0$

Etapa 5.1.7

Combine os termos.

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Etapa 5.1.7.1

Some $4 x + 3 y$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y - 5 + 0$

Etapa 5.1.7.2

Some $4 x + 3 y - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y - 5$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x + 3 y - 5$ .

$4 x + 3 y - 5$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x + 3 y - 5 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x + 3 y - 5 = 0$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$4 x - 5 = - 3 y$

Etapa 6.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$4 x = - 3 y + 5$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $4 x = - 3 y + 5$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $4 x = - 3 y + 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4$

Etapa 10

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Reescreva ${(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})}^{2}$ como $(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 ((- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.2

Expanda $(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.3.1.1

Multiplique $- \frac{3 y}{4} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Etapa 11.2.1.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{3 y}{4}) \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.1.2

Multiplique $\frac{3 y}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{3 y}{4} \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.1.3

Multiplique $\frac{3 y}{4}$ por $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{3 y (3 y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y \cdot y}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.1.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 (y \cdot y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.1.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

Etapa 11.2.1.3.1.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{1 + 1}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.1.8

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.1.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.2

Multiplique $- \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Etapa 11.2.1.3.1.2.1

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{5 (3 y)}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.2.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.2.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.3

Multiplique $\frac{5}{4} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Etapa 11.2.1.3.1.3.1

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{5 (3 y)}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.3.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.3.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.4

Multiplique $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.3.1.4.1

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.4.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{25}{4 \cdot 4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.1.4.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.3.2

Subtraia $\frac{15 y}{16}$ de $- \frac{15 y}{16}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 2 \frac{15 y}{16} + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 (- 1) (\frac{15 y}{16}) + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.4.1.2

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{15 y}{2 \cdot 8}) + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.4.1.3

Cancele o fator comum.

Etapa 11.2.1.4.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 1 \frac{15 y}{8} + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva $- 1 \frac{15 y}{8}$ como $- \frac{15 y}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{8} + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16}) + 2 (- \frac{15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6

Simplifique.

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Etapa 11.2.1.6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1.6.1.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 (8)}) + 2 (- \frac{15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.1.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 \cdot 8}) + 2 (- \frac{15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.1.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (- \frac{15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1.6.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{15 y}{8}$ para o numerador.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.2.2

Fatore $2$ de $8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 15 y}{2 (4)}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 15 y}{2 \cdot 4}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 15 y}{4} + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1.6.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 15 y}{4} + 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.3.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 15 y}{4} + 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.6.3.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 15 y}{4} + \frac{25}{8} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (3 (- \frac{3 y}{4}) + 3 (\frac{5}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.9

Multiplique $3 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Etapa 11.2.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (- 3 \frac{3 y}{4} + 3 (\frac{5}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.9.2

Combine $- 3$ e $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (\frac{- 3 (3 y)}{4} + 3 (\frac{5}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.9.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + 3 (\frac{5}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.10

Multiplique $3 (\frac{5}{4})$ .

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Etapa 11.2.1.10.1

Combine $3$ e $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.10.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + \frac{15}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (- \frac{9 y}{4} + \frac{15}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y}{4} \cdot y + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.13

Multiplique $- \frac{9 y}{4} y$ .

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Etapa 11.2.1.13.1

Combine $y$ e $\frac{9 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{y (9 y)}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.13.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.13.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.13.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{1 + 1}}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.13.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.14

Combine $\frac{15}{4}$ e $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.15

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4}) - 5 (\frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.16

Multiplique $- 5 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Etapa 11.2.1.16.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + 5 (\frac{3 y}{4}) - 5 (\frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.16.2

Combine $5$ e $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{5 (3 y)}{4} - 5 (\frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.16.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - 5 (\frac{5}{4}) + 2 y$

Etapa 11.2.1.17

Multiplique $- 5 (\frac{5}{4})$ .

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Etapa 11.2.1.17.1

Combine $- 5$ e $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.1.17.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.1.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.2

Combine os termos opostos em $\frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$ .

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Etapa 11.2.2.1

Some $- \frac{15 y}{4}$ e $\frac{15 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + 0 + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.2.2

Some $\frac{9 y^{2}}{8} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4}$ e $0$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.3

Para escrever $- \frac{9 y^{2}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{8} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.4.1

Multiplique $\frac{9 y^{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{25}{8} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{25}{8} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 11.2.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{25}{8} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Etapa 11.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2 + 25}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 11.2.5.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{9 y^{2} - 18 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 11.2.5.4

Subtraia $18 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{- 9 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 11.2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.6.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{- 9 y^{2} + 5^{2}}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 11.2.6.1.2

Reescreva $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{- {(3 y)}^{2} + 5^{2}}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 11.2.6.1.3

Reordene $- {(3 y)}^{2}$ e $5^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{5^{2} - {(3 y)}^{2}}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 11.2.6.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = 3 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{(5 + 3 y) (5 - (3 y))}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 11.2.6.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{(5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Etapa 11.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{(5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.7

Para escrever $4 y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + 4 y^{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{(5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.8

Simplifique os termos.

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Etapa 11.2.8.1

Combine $4 y^{2}$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{(5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{4 y^{2} \cdot 8 + (5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.9.1

Multiplique $8$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + (5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.2

Expanda $(5 + 3 y) (5 - 3 y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.2.9.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 (5 - 3 y) + 3 y (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) + 3 y (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.3

Combine os termos opostos em $5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (- 3 y)$ .

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Etapa 11.2.9.3.1

Reorganize os fatores nos termos $5 (- 3 y)$ e $3 y \cdot 5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 - 3 \cdot (5 y) + 3 \cdot (5 y) + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.3.2

Some $- 3 \cdot 5 y$ e $3 \cdot 5 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 + 0 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.3.3

Some $5 \cdot 5$ e $0$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.9.4.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 + 3 \cdot (- 3 y \cdot y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.4.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 11.2.9.4.3.1

Mova $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 + 3 \cdot (- 3 (y \cdot y))}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.4.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 + 3 \cdot (- 3 y^{2})}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.4.4

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 - 9 y^{2}}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.9.5

Subtraia $9 y^{2}$ de $32 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.10

Para escrever $2 y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y \cdot \frac{8}{8} + \frac{23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.11

Simplifique os termos.

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Etapa 11.2.11.1

Combine $2 y$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{2 y \cdot 8}{8} + \frac{23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.11.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{2 y \cdot 8 + 23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.12.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{16 y + 23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.12.2

Reordene os termos.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.13

Para escrever $\frac{15 y}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25}{8} + \frac{15 y}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.14.1

Multiplique $\frac{15 y}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25}{8} + \frac{15 y \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.14.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25}{8} + \frac{15 y \cdot 2}{8} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25 + 15 y \cdot 2}{8} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.16.1

Multiplique $2$ por $15$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25 + 30 y}{8} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.16.2

Some $16 y$ e $30 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25}{8} - \frac{25}{4}$

Etapa 11.2.17

Para escrever $- \frac{25}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25}{8} - \frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 11.2.18

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.18.1

Multiplique $\frac{25}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Etapa 11.2.18.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8}$

Etapa 11.2.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25 - 25 \cdot 2}{8}$

Etapa 11.2.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.20.1

Multiplique $- 25$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25 - 50}{8}$

Etapa 11.2.20.2

Subtraia $50$ de $25$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y - 25}{8}$

Etapa 11.2.21

A resposta final é $\frac{23 y^{2} + 46 y - 25}{8}$ .

$y = \frac{23 y^{2} + 46 y - 25}{8}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$ .

$(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}, \frac{23 y^{2} + 46 y - 25}{8})$ é um mínimo local

Etapa 13