Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x + 6)}^{2} (x - 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Reescreva ${(x + 6)}^{2}$ como $(x + 6) (x + 6)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x + 6) (x + 6) (x - 3))$

Etapa 1.1.2

Expanda $(x + 6) (x + 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x + 6) + 6 (x + 6)) (x - 3))$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)) (x - 3))$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 6 x + 6 x + 36) (x - 3))$

Etapa 1.1.3.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 12 x + 36) (x - 3))$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 12 x + 36$ e $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Etapa 1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Etapa 1.1.5.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Etapa 1.1.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Etapa 1.1.5.4.2

Multiplique $x^{2} + 12 x + 36$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Etapa 1.1.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12 x + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Etapa 1.1.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Etapa 1.1.5.7

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36))$

Etapa 1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36))$

Etapa 1.1.5.9

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 + \frac{d}{d x} (36))$

Etapa 1.1.5.10

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 + 0)$

Etapa 1.1.5.11

Some $2 x + 12$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12)$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot 12$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot 12$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Etapa 1.1.6.4

Combine os termos.

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Etapa 1.1.6.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Etapa 1.1.6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Etapa 1.1.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Etapa 1.1.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Etapa 1.1.6.4.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Etapa 1.1.6.4.6

Mova $12$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + 12 \cdot x - 3 \cdot 12$

Etapa 1.1.6.4.7

Multiplique $- 3$ por $12$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + 12 x - 36$

Etapa 1.1.6.4.8

Some $- 6 x$ e $12 x$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} + 6 x - 36$

Etapa 1.1.6.4.9

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 36 + 6 x - 36$

Etapa 1.1.6.4.10

Some $12 x$ e $6 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 36 - 36$

Etapa 1.1.6.4.11

Subtraia $36$ de $36$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 0$

Etapa 1.1.6.4.12

Some $3 x^{2} + 18 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 18 x$ .

$3 x^{2} + 18 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 18 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 18 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} + 18 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 18 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $3 x$ de $18 x$ .

$3 x (x) + 3 x (6) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (6)$ .

$3 x (x + 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 6$ .

$0, - 6$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f' (- 7) = 3 {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f' (- 7) = 3 \cdot 49 + 18 (- 7)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $49$ .

$f' (- 7) = 147 + 18 (- 7)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $18$ por $- 7$ .

$f' (- 7) = 147 - 126$

Etapa 5.2.2

Subtraia $126$ de $147$ .

$f' (- 7) = 21$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $21$ .

$21$

Etapa 5.3

Em $x = - 7$ , a derivada é $21$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 6)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 6)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 6, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 18 (- 3)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 + 18 (- 3)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$f' (- 3) = 27 + 18 (- 3)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $18$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = 27 - 54$

Etapa 6.2.2

Subtraia $54$ de $27$ .

$f' (- 3) = - 27$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 27$ .

$- 27$

Etapa 6.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $- 27$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 6, 0)$ .

Decréscimo em $(- 6, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 18 (1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 18 (1)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 + 18 (1)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $18$ por $1$ .

$f' (1) = 3 + 18$

Etapa 7.2.2

Some $3$ e $18$ .

$f' (1) = 21$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $21$ .

$21$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $21$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 6), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- 6, 0)$

Etapa 9